Erzeugte Sigmaalgebra bestimmen

28.10.2024, 11:22	Sigmaalgebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugte Sigmaalgebra bestimmen Hallo liebes Matheboard! Ich komme bei einer Aufgabe zu Bestimmung der erzeugten Sigmaalgebra nicht weiter: Geben Sie jweils die kleinste Sigmaalgebra an, welche durch die folgenden Mengensysteme erzeugt wird: a) $\begin{eqnarray} \Omega=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E=\{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\}\} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \Omega=\mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E=\{\{-n,n\},~n\in\mathbb N_0\} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \Omega=\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E=\{{x},~x\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ Die a) ist soweit kein Problem, ich habe über Komplement- und Vereinigungsbildung nachgewiesen, dass $\begin{eqnarray} \{1\},\{2\},\{3\},\{4\} \end{eqnarray}$ in der erzeugten Sigmaalgebra enthalten sein müssen und da wir eine endliche Menge haben, muss das dann ja schon die Potenzmenge sein. Bei der b) habe ich bisher überhaupt keine Vorstellung, wie ich die erzeugte Sigmaalgebra aufbauen soll. Ich habe immer $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ und die Paare $\begin{eqnarray} \{-1,1\}, \{-2,2\} \end{eqnarray}$ etc. nach Vorgabe, damit kann ich dann durch Vereinigung beliebige "Mittelteile" von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ der Form $\begin{eqnarray} \{-n,...,0,...,n\} \end{eqnarray}$ erzeugen und durch Komplementbildung auch die beiden äußeren Teile, allerdings weiß ich dann gerade nicht weiter. Bei der c) war mein erster Gedanke, dass das wie bei der a) die Potenzmenge sein muss, weil ich ja alle einzelnen Mengen gegeben habe. Allerdings ist das ja keine abzählbare Menge mehr und ich darf ja nur abzählbare Vereinigungen bilden, also kann ich damit nicht jede beliebige Teilmenge erhalten.
28.10.2024, 16:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei b) sollte doch die Vermutung naheliegen, dass die Sigma-Algebra genau die zur 0 spiegelsymmetrischen Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ umfasst, d.h. Mengen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit Eigenschaft $\begin{eqnarray} x\in A~\Leftrightarrow~ \left(-x\right)\in A \end{eqnarray}$ . Bei c) nehme ich erstmal an, dass du dich verschrieben hast und in Wahrheit meinst $\begin{eqnarray} E= \left\{ \{x\} \mid x\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ . Dann ist die erzeugte Sigmaalgebra tatsächlich nicht die Potenzmenge, sondern das System aller Mengen $\begin{eqnarray} A\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , die selbst oder deren Komplement abzählbar ist. Für praktische Zwecke ziemlich unbrauchbar, fehlen doch darin z.B. sämtliche endlichen Intervalle positiver Länge. ======================================================= Hinweis: Wie kann man beweisen, dass ein solchermaßen gefundenes Mengensystem $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ tatsächlich die kleinste Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \sigma(E) \end{eqnarray}$ ist, welche ein vorgegebenes Mengensystem $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ umfasst? 1) Selbstredend muss $\begin{eqnarray} E\subseteq S \end{eqnarray}$ gelten. 2) Man weist $\begin{eqnarray} S\subseteq \sigma(E) \end{eqnarray}$ nach, indem man für alle Mengen aus $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ angibt, wie sie durch die Sigma-Algebra-Operationen "Komplement" sowie "abzählbare Vereinigungen" (sowie abgeleitet dann auch "abzählbare Durchschnitte") von Mengen aus $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ darstellbar sind. 3) Man weist nach, dass $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ selbst eine Sigma-Algebra ist, in dem man deren Abgeschlossenheit gegenüber den genannten Operationen zeigt. Aus 1)2) folgt nämlich zunächst $\begin{eqnarray} E\subseteq S\subseteq \sigma(E) \end{eqnarray}$ und wendet Operation $\begin{eqnarray} \sigma(\ldots) \end{eqnarray}$ darauf an, welche offenbar monoton bzgl. der Halbordnung "Teilmengenrelation" ist: $\begin{eqnarray} \sigma(E)\subseteq \sigma(S)\subseteq \sigma(\sigma(E)) \end{eqnarray}$ . Da die erzeugte Sigma-Algebra einer Sigma-Algebra diese selbst ist, folgt zusammen mit 3) $\begin{eqnarray} \sigma(E)\subseteq S\subseteq \sigma(E) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} S = \sigma(E) \end{eqnarray}$ .
29.10.2024, 10:37	Sigmaalgebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank, das gibt mir glaube ich erstmal genug um drüber nachzudenken bzw. anzuwenden! Die Spiegelsymmetrie bei 2) wäre mir glaube ich nicht aufgefallen, auch wenn die Mengen die ich mir als Beispiel aufgeschrieben habe das natürlich sind...und ja, bei der 3) fehlen die Mengenklammern, um das x herum.

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