Scharfunktion

28.10.2024, 20:57	Mathefreund10	Auf diesen Beitrag antworten »
Scharfunktion Hallo liebe Mathefreunde, habe mit folgender Aufgabe noch ein Verständnisproblem: Betrachtet wird die Schar der in R definierten Funktion hk mit hk(x) = (x-3)^k + 1 und k Element N \ (0). Sry, finde das Symbol für Element nicht. Die erste Ableitung ist h'k. Beurteilen Sie folgendes: "Es gibt genau einen Wert von hk für den der Graph von h'k Tangente an den Graphen von hk ist. Lösung: h'k = k(x-3)^(k-1) 1 = k*(x-3)^(k-1) Daraus schließe ich nur für k = 1 und k = 2 wäre h'k eine Gerade, für k = 1 wäre der Graph allerdings keine Tangente. Es gilt: h'2(x) = 2x-6 So nun mein Verständnisproblem: Hier steht: h'2(x) =2 --> x = 4 h2(4) = 2 Damit ist die Aussage richtig. Kann mir jemand erklären, warum das so gerechnet wird. Wäre über eine kurze Erläuterung dankbar. VG, Mathefreund
28.10.2024, 21:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer Tangente müssen Funktionswert und Steigung mit den entsprechenden Größen der Funktion übereinstimmen. Das wird durch die beiden Bedingungen erreicht. Die potentielle Tangente hat die Steigung 2 und an der daraus resultierenden Stelle den y-Wert 2*4-6=2
31.10.2024, 11:53	Mathefreund 10	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke schonmal. Woher weiß ich denn, dass ich h'(2)x = 2 aufstelle?
31.10.2024, 14:51	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
An der gesuchten Stelle muss gelten $\begin{eqnarray} h_{k=2}' \left( x_{P} \right) = h_{k=2}'' \left( x_{P} \right) \end{eqnarray}$ . Die zweite Ableitung ist ja anscheinend $\begin{eqnarray} h_{k=2}'' \left( x \right)=2 \end{eqnarray}$ .
01.11.2024, 08:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Erklärung von Drummer etwas auszuführen: Die potentielle Tangente hat die Gleichung t(x)=2x-6 Diese Gerade hat offensichtlich die Steigung 2 (Mittelstufenwissen) und somit muss auch die Funktion $\begin{eqnarray} h_2(x) \end{eqnarray}$ an der Berührstelle diesen Steigungswert haben. Die Steigung von $\begin{eqnarray} h_2(x) \end{eqnarray}$ wird aber über die erste Ableitung $\begin{eqnarray} h_2'(x) \end{eqnarray}$ berechnet. Daraus ergibt sich die Bedingung $\begin{eqnarray} h_2'(x)=2 \end{eqnarray}$ .
03.11.2024, 16:49	Mathefreund 10	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.
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