Integral berechnen

29.10.2024, 22:49

fleißige Schülerin

Integral berechnen

Meine Frage:
Ich frage mich wie ich den markierten Flächeninhalt berechnen soll...Nach oben gibt es keiner Grenze...Normalerweise befindet sich die zu berechnende Fläche unterhalb des Graphen, sprich zwischen Graph und x- Achse...

Wie soll ich jetzt vorgehen?

Meine Ideen:
Meine Idee wäre über Symmetrieiegenschaft vielleicht. Eine Spiegelung an der x-Achse erzeugen. Bestimmtes Integral aufschreiben

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2,5} \! f(x) , \dx = - 12,68 \end{eqnarray*}$ in Betrag setzen. Dann ist $\begin{eqnarray*} A=12,68 \end{eqnarray*}$

Freue mich über Hilfe...

29.10.2024, 23:09

Leopold

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[attach]57970[/attach]
Subtrahieren.

29.10.2024, 23:26

fleißige Schülerin

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Danke für deine Antwort.

Subtrahieren? Was von wem?

Meinst du, dass wir da ein Rechteck haben also wäre der Flächeninhalt vom Rechteck 2,5 (breite) x 9,5 (höhe) = 23,75 und davon dann 11,07 subtrahieren sind 12,68.

30.10.2024, 08:26

adiutor62

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Vom Rechteck die Fläche unter dem Graphen abziehen

Zur Kontrolle:
https://www.integralrechner.de/

30.10.2024, 08:58

Dopap

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oder du rechnest "obere Kurve minus untere Kurve"

$\begin{eqnarray*} A=\int_0^{2.5} f(2.5)-f(x) \dd x \end{eqnarray*}$

die Lage der x-Achse ist dann ohne Belang.
Bei reiner Flächenberechnung sollten sich die Graphen aber nicht "überkreuzen"

30.10.2024, 09:08

HAL 9000

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@fleißige Schülerin

Hmm, du deutest die Skizze so, dass der rechte obere Randpunkt der zu berechnenden Fläche der Punkt $\begin{eqnarray*} \left(2.5,f\left(2.5\right)\right) = \left(2.5,9.375\right) \end{eqnarray*}$ ist?

Ich hab im ersten Moment gedacht, dass eher der lokale Maximumpunkt der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gemeint ist, und das ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{8}{3},f\left(\frac{8}{3}\right)\right) = \left(\frac{8}{3},\frac{256}{27}\right)\approx \left(2.67,9.48\right) \end{eqnarray*}$ .

Schwierige Entscheidung angesichts der begrenzten Ablesegenauigkeit.

P.S.: Bei dieser zweite Interpretation, wo das Rechteck aufgespannt wird durch die beiden lokalen Extrempunkte der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , ist die zu berechnende graue Fläche übrigens genau die Hälfte der Rechteckfläche: Das liegt daran, dass jede kubische Funktion punktsymmetrisch bzgl. ihres Wendepunkts ist, und der Graph von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ daher das Rechteck in zwei kongruente Teilflächen teilt, d.h., die gesuchte Fläche ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}\cdot \frac{256}{27} = \frac{1024}{81}\approx 12.64 \end{eqnarray*}$ .

30.10.2024, 12:31

graugraugrau

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Bei x=2,5 hast Du ein y=9,375, falls Du auf der Kurve bleiben willst.
Dann ist die Fläche etwas weniger als Dein Ergebnis, dann wäre es 12.3697917 Quadrateinheiten

30.10.2024, 15:27

graugraugrau

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RE: Integral berechnen
Du kannst den Graph auch nach links um 90 Grad kippen, dann kommt die gesuchte Fläche unter die Kurve.
Aus -x^2(x-4) wird dann y^2 (y - 4).
Mit $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2.5}(y^{2}\cdot(y-4))\ dy \end{eqnarray*}$ erhälst Du die Fläche.

31.10.2024, 14:15

Leopold

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Das ist zwar theoretisch richtig. Allerdings führt die Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn nicht auf einen einfachen Funktionsterm. Wenn man Intervalle so bestimmt, daß $\begin{align*} f \end{align*}$ im interessierenden Bereich umkehrbar ist, kommt man auf

$\begin{align*} I = \left[ 0 \, , \frac{5}{2} \right] \, , \ \ J = \left[ 0 \, , \frac{75}{8} \right] \end{align*}$

$\begin{align*} f: \, I \to J \end{align*}$

Ist nun $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ hiervon die Umkehrfunktion:

$\begin{align*} f^{-1}: \, J \to I \end{align*}$

so ist das gesuchte $\begin{align*} g \end{align*}$ , das den um 90° gekippten Graphen liefert:

$\begin{align*} g(x) = f^{-1}(-x) \, , \ x \in - J \end{align*}$

Für den Wert der gesuchten Fläche wäre dann

$\begin{align*} A = \int \limits_{- \frac{75}{8}}^0 g(x) ~ \dd x \ = \int \limits_{- \frac{75}{8}}^0 f^{-1}(-x) ~ \dd x \end{align*}$

zu berechnen. Es dürfte unmöglich sein, mit halbwegs akzeptablem Rechenaufwand $\begin{align*} f^{-1}(x) \end{align*}$ explizit zu bestimmen (Cardano läßt grüßen). Man wird daher eher versuchen, das Integral zu transformieren, um sich des $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ zu entledigen. Dann ist man aber wieder beim ursprünglichen Lösungsansatz: Rechteck minus Fläche unterhalb des Graphen von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

Das von dir vorgeschlagene Integral liefert wieder den Flächeninhalt unterhalb des Graphen von $\begin{align*} f \end{align*}$ , nur mit negativem Vorzeichen.

04.11.2024, 15:45

graugraugrau

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Das ist merkwürdig. Beide graphen -x^2(x-4) und y^2(y-4) sehen nach plotten genau gleich aus, eben nur um 90 Grad nach links gekippt. wegen der Umkehrung , die benötigt man bei der Aufgabe eher nicht. Aber wieso liefert das Integral von der gekippten Version das gleiche wie das Integrall von -x^2(x-4).

04.11.2024, 16:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von graugraugrau
Das ist merkwürdig. Beide graphen -x^2(x-4) und y^2(y-4) sehen nach plotten genau gleich aus, eben nur um 90 Grad nach links gekippt. wegen der Umkehrung

Was ist daran merkwürdig? Eine 90°-Drehung im mathematisch positven Drehsinn ergibt für die neuen Koordinaten nun mal $\begin{eqnarray*} x' = y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y' = -x \end{eqnarray*}$ .

04.11.2024, 16:39

graugraugrau

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Nicht das gleiche Aussehen der Graphen fand ich merkwürdig, sondern daß beide integrale das gleiche absolute Ergebnis hatten.
Jetzt weiß ich auch was Leopold meint. Stimmt , die Umkehrung wäre etwas schwierig, schade.

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