Frage zur Zahl Pi

30.10.2024, 16:25

Jim_

Frage zur Zahl Pi

Meine Frage:
Guten Abend,

ich habe eine Frage zur Zahl Pi.
Und zwar habe ich schon mehrfach gelesen, dass in Pi quasi jede erdenkliche Zahlenfolge vorkommen soll. Nun frage ich mich kann man das so behaupten bzw beweisen?

Meine Ideen:
Meine Gedanken sind,dass man das nicht unbedingt behaupten kann. Pi wird ja exakt definiert, und die Ziffern sind ja nicht rein zufällig. Somit könnte es sein, muss aber nicht. Oder was denkt ihr hier?
Danke für die Hilfe.

30.10.2024, 16:46

Steffen Bühler

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RE: Frage zur Zahl Pi
Das hatten wir vor einiger Zeit mal: Eigenschaft von PI

Viele Grüße
Steffen

30.10.2024, 16:47

Elvis

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Kann sein, kann auch nicht sein. Noch fehlt jeder Beweis, also weiß man es nicht.

30.10.2024, 16:59

HAL 9000

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Was ich hier erwähnte, lässt sich andererseits relativ einfach nachweisen - ist eine schöne Übungsaufgabe. Augenzwinkern

30.10.2024, 20:35

Jim_

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Vielen Dank für die Verlinkung auf das Thema.

Ich zitiere mal aus dem anderen Thema:

Zitat:

Man könnte Pi niemals vollständig aufschreiben, auch nicht auf einem Blatt Papier von der Größe der Milchstraße. Man kann Pi auch nicht vollständig mit einem Bruch umschreiben: Jede irdische Berechnung führt nur zu einem annäherungsweisen Kreis, der in Wirklichkeit nur eine erbärmliche Ellipse ist, eine schäbige Nachahmung eines echten Kreises. Der Kreis, den Pi beschreibt, ist vollkommen und gehört ausschließlich ins Reich der Vorstellungskraft.

Des Weiteren haben, so sagen uns die Mathematiker, die Ziffern dieser Zahl kein voraussagbares oder sich periodisch wiederholendes Muster: Wenn wir vielleicht eine Sechs erwarten, geht die Folge stattdessen mit einer Zwei, einer Null oder einer Sieben weiter; nach einer ganzen Reihe von Neunen kann genauso gut eine weitere (oder zwei oder drei) Neun folgen oder eine beliebige andere Ziffer. Aber das übersteigt unser Verständnis.

Kreise, vollkommene Kreise, bestehen also aus jeder möglichen Ziffernfolge. Irgendwo tief im Inneren von Pi, vielleicht nach Trillionen und Abertrillionen Stellen, drängen sich 100 Fünfen nacheinander; anderswo wechseln Null und Eins sich 1000-mal ab. Unvorstellbar tief in diesem so zufällig wirkenden Ziffernmorast steht, wenn man länger nachrechnet, als die Welt seit dem Urknall bis heute Bestand hat, die Ziffernfolge 123456789... 123 456 789-mal hintereinander. Wenn wir nur weit genug kämen, fänden wir die ersten hundert, tausend, eine Million oder eine Milliarde Ziffern von Pi fehlerlos wiederholt, als ob sich jetzt endlich eine Periodizität ergäbe. Aber nein, es kommt keine: Es gibt nur die Zahl Pi, unwiederholbar und unteilbar.

Warum kann man Pi nicht exakt berechnen? Dass man natürlich nur endliche Anzahl an Ziffern berechnen kann, ist klar. Aber welche Gründe sollte es geben?
Außerdem: aus reinem Zufall ergibt sich ja auch nicht die Zahl Pi, deshalb weiß ich nicht, wie man frei behaupten kann das irgendwann 100 Fünfen aneinander gereiht kämen.

30.10.2024, 21:12

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Jim_
Warum kann man Pi nicht exakt berechnen? Dass man natürlich nur endliche Anzahl an Ziffern berechnen kann, ist klar.

Nur das ist hier gemeint. Eine „irdische“ Berechnung muss irgendwann abbrechen, die verbleibenden Ziffern werden weggelassen, das Ergebnis ist also immer zu klein.

Zitat:

Original von Jim_
deshalb weiß ich nicht, wie man frei behaupten kann das irgendwann 100 Fünfen aneinander gereiht kämen.

Wie geschrieben, ist das ja auch nicht bewiesen. HAL erwähnte zwar, dass fast jede reelle Zahl normal ist, also diese 100 Fünfen in der Dezimalentwicklung hat, aber der Beweis speziell für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , Watson…

31.10.2024, 06:08

Jim_

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Zitat:

Nur das ist hier gemeint. Eine „irdische“ Berechnung muss irgendwann abbrechen, die verbleibenden Ziffern werden weggelassen, das Ergebnis ist also immer zu klein.

Okay, gut, dann hab ich das schon mal verstanden.

Zitat:

Aber wie kann man das beweisen, dass 100 Fünfen nacheinander folgen? Außer es zu berechnen? Jede Nachkommastelle ergibt sich ja aus der Berechnung und wird nicht einfach ausgewürfelt.

31.10.2024, 08:33

Elvis

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Man kann sicher nicht in endlicher Zeit berechnen, dass jede endliche Ziffernfolge in $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vorkommt oder dass eine Ziffernfolge nicht vorkommt. Wenn man wüsste, wie man diese Aussage beweisen oder widerlegen kann, würde man es tun; man weiß nur, dass die Aussage entweder wahr oder falsch ist; man weiß aber nicht, ob sie wahr ist oder ob sie falsch ist.

31.10.2024, 08:49

Leopold

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Zitat:

Original von Jim_
Aber wie kann man das beweisen, dass 100 Fünfen nacheinander folgen? Außer es zu berechnen? Jede Nachkommastelle ergibt sich ja aus der Berechnung und wird nicht einfach ausgewürfelt.

Weil du immer wieder danach fragst: Die Sache mit den 100 Fünfen in $\begin{align*} \pi \end{align*}$ ist gerade nicht bewiesen. Es ist bloß eine Theorie, daß es so sein könnte. Ebenso gut könnte ich behaupten: Niemals folgen in der Dezimalbruchentwicklung von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ 100 Fünfen nacheinander. Und das wäre ebenso wenig bewiesen.

Mathematische Beweise können auch reine Existenzbeweise sein, ohne daß man einen konkreten Algorithmus angeben könnte, zum bewiesenen Objekt zu gelangen. Und hier befinden wir uns an der Grenze unserer Vorstellungskraft. Die reellen Zahlen, wie sie heute verstanden werden und mit denen wir täglich umgehen, sind in Wahrheit ein einziges großes Rätsel. Leopold-fast sicher kennen wir von ihnen gar nichts.

31.10.2024, 09:47

Jim_

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@ Elvis und Leopold:

Vielen Dank für eure Hilfe. Ich hatte es in diversen populär-wissenschaftlichen Ausarbeitungen nämlich so verstanden, dass jede erdenkliche Ziffernfolge vorliegt, wenn die Zahl normal sei.
Somit seien in diesen Zahlen auch alles codiert, wie zb unserer Austausch hier.

Dies kann man also nicht ohne weiteres beweisen (oder widerlegen)?

31.10.2024, 10:16

Leopold

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Unterscheide

– die Definition des Begriffs "normale Zahl" durch eine Eigenschaft
– das Vorliegen dieser Eigenschaft für eine konkrete Zahl und damit ihre "Normalität"

Vielleicht hast du auch Verständnisprobleme zwischen dem deutschen Wort "normal" und dem Fachbegriff "normale Zahl". Vergiß in diesem Zusammenhang, was auch je du unter "normal" verstanden hast, wenn dir das Wort in einem deutschen Text begegnet ist, und akzeptiere die mathematische Definition für "normale Zahl". So bezeichnet man in der Tat eine reelle Zahl, in deren Dezimalbruchentwicklung jede endliche Zahlenfolge an einer bestimmten Stelle mal auftritt.
Nehmen wir einmal die Zahl $\begin{align*} a = \frac{5}{2} \end{align*}$ . Ihre Dezimalbruchentwicklung ist $\begin{align*} a = 2{,}5000000 \ldots \end{align*}$ (oder doch eher $\begin{align*} a = 2{,}4999999 \ldots \end{align*}$ ? - sei's drum!)
In dieser Dezimalbruchentwicklung kommt die Ziffernfolge 31102024, also das aktuelle Datum, nicht vor. Damit ist die Zahl $\begin{align*} a \end{align*}$ nicht normal.

Oder nehmen wir die irrationale Zahl $\begin{align*} b \end{align*}$ , in deren Dezimalbruchentwicklung wir die natürlichen Zahlen in Dezimalschreibweise einfach hintereinander schreiben:

$\begin{align*} b = 0{,}123456789101112131415161718 \ldots \end{align*}$

In $\begin{align*} b \end{align*}$ kommen 3 Einsen vor, und zwar an der Stelle 12. Kommen auch 100 Fünfen vor?

Ist $\begin{align*} b \end{align*}$ normal?

31.10.2024, 18:44

Jim_

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Ja, b wäre normal (ist ja auch so konstruiert).

Gibt es noch andere zahlen, wo man dies beweisen kann?

31.10.2024, 20:13

HAL 9000

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Ja, es klingt paradox: Fast alle reelle Zahlen sind normal, aber beweisen kann man bei bestimmten konkreten Zahlen eher die Nicht-Normalität. Z.B. sind offenbar alle rationalen Zahlen nicht normal. Normalitätsbeweise sind mir nur bekannt bei Zahlen, die man extra so konstruiert hat (Leopold hat da ein einfaches Beispiel für so eine Konstruktion genannt).

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