Verständnisfrage zum Cauchy-Integralsatz

31.10.2024, 14:25

Gast123987

Verständnisfrage zum Cauchy-Integralsatz

Wir haben den Cauchy-Integralsatz so definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} f:U \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorph, U offen.

Sei $\begin{eqnarray*} Q \subset U \end{eqnarray*}$ Kreisscheibe (oder homöomorph zur Kreisscheibe) und $\begin{eqnarray*} \partial Q = \gamma \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! f(z) \, dz = 0 \end{eqnarray*}$

Wir können komplexe Funktionen ja nun als Potenzreihen entwickeln mit Konvergenzradius R. Innerhalb des Konvergenzradius (also Kreisscheiben mit Radius R) konvergiert die Reihe gegen die Funktion.

Für $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z-z_0} \end{eqnarray*}$

wäre das Integral aber nicht 0. Für $\begin{eqnarray*} z = z_0 \end{eqnarray*}$ wäre die Funktion ja gar nicht definiert, dadurch nicht mehr holomorph und die Definition des Cauchy-Satzes ist nicht mehr erfüllt für $\begin{eqnarray*} z = z_0 \end{eqnarray*}$ . Das ist verständlich.

Was ist nicht mehr verstehe ist, wieso

Für $\begin{eqnarray*} g(z) = \frac{1}{(z-z_0)^n} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n \neq 1 \end{eqnarray*}$ das Kurvenintegral doch wieder 0 ist. Hier haben wir doch genau so für $\begin{eqnarray*} z = z_0 \end{eqnarray*}$ keine Holomorphie vorliegen innerhalb der Konvergenzscheibe.

Über den Residuensatz ist das später verständlich, da nur der $\begin{eqnarray*} c_{-1} \end{eqnarray*}$ -Koeffizient der Laurentreihe relevant ist, aber es muss ja auch die pure Definition des Satzes von Cauchy zum gleichen Ergebnis führen. Irgendetwas blicke ich hier nicht ganz. verwirrt

31.10.2024, 14:37

IfindU

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RE: Verständnisfrage zum Cauchy-Integralsatz
Aufgrund der Symmetrie des Kreises, ist $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! f(z) \, dz = 0 \end{eqnarray*}$ für jede punktsymmetrische Funktion, d.h. $\begin{eqnarray*} f(z) = f(-z) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Und zwar selbst für nicht holomorphe und selbst unstetige Funktionen.

Die Aussage geht nur in eine Richtung "Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph, dann kennen wir den Integralwert" aber nicht "Wenn das Integral verschwindet, muss der Integrand holomorph sein".

Edit: Ich nehme die Aussage über Punktsymmetrie mal zurück. Ich hab ein nieder-dimensionales Integral gedacht (Hausdorffmaß) und nicht an ein Kurvenintegral.

31.10.2024, 18:03

trancelocation

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RE: Verständnisfrage zum Cauchy-Integralsatz
Es sieht so aus, dass du die Implikation umdrehen willst.

Aus dem Umstand, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ in einer Kreischeibe eine Singularität hat, folgt nicht, dass das Kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \oint_{\gamma}g(z)\, dz \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Du kannst das Kurvenintegral für die Kreischeibe auch direkt berechnen mit $\begin{eqnarray*} z(t) = z_0 + re^{it} \end{eqnarray*}$ .

Dann wirst du sehen, dass du dabei $\begin{eqnarray*} \sin t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos t \end{eqnarray*}$ über Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ integrierst.

01.11.2024, 12:46

Gast123987

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RE: Verständnisfrage zum Cauchy-Integralsatz

Zitat:

Original von IfindU

Die Aussage geht nur in eine Richtung "Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph, dann kennen wir den Integralwert" aber nicht "Wenn das Integral verschwindet, muss der Integrand holomorph sein".

Ja, das war es tatsächlich. Der Satz sagt uns ja nur, dass der Wert des Integrals 0 ist, wenn f holomorph ist. Das schließt aber nicht aus, dass innerhalb der Kurve auch Singularitäten existieren können, wo f nicht holomorph ist und das Integral dennoch den Wert 0 annehmen kann, wie eben für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray*}$ mit Residuum 0 an der Stelle z=0.

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