Menge der Ahnungslosen

01.11.2024, 13:55

werner

Menge der Ahnungslosen

$\begin{eqnarray*} A,B und C seien endliche Mengen. Es gelte B \subseteq A\cap C. Drücke die Mächtigkeit folgender Menge in Abhängigkeit der Mächtigkeit obiger Mengen aus: (C\times A)\B^2 (B^2 \equiv B \times B). \end{eqnarray*}$

wie gesagt: ich habe keinerlei Ahnung und danke für jede Hilfe
werner

01.11.2024, 14:48

Elvis

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$\begin{eqnarray*} B\subseteq A\cap C\Rightarrow (C\times A)\backslash(B\times B)|=|C|\cdot |A|-|B|\cdot |B| \end{eqnarray*}$

01.11.2024, 16:00

werner

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[quote]Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} B\subseteq A\cap C\Rightarrow (C\times A)\backslash(B\times B)|=|C|\cdot |A|-|B|\cdot |B| \end{eqnarray*}$ [/quote

danke mein lieber Elvis, kannst du mir ABSOLUT AHNUNGSLOSEM noch ein bißerl weiterhelfen
werner

01.11.2024, 16:27

Elvis

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Korrektur
$\begin{eqnarray*} B\subseteq A\cap C\Rightarrow |(C\times A)\backslash(B\times B)|=|C|\cdot |A|-|B|\cdot |B| \end{eqnarray*}$

01.11.2024, 16:30

Leopold

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Beispiel 1

$\begin{align*} A = B = C = \mathbb{R} \end{align*}$

$\begin{align*} A \times C \setminus B^2 = \mathbb{R}^2 \setminus \mathbb{R}^2 = \emptyset \end{align*}$

$\begin{align*} \left| A \times C \setminus B^2 \right| = 0 \end{align*}$

Beispiel 2

$\begin{align*} A = C = \mathbb{R} \, , \ \ B = \mathbb{N} \end{align*}$

$\begin{align*} A \times C \setminus B^2 = \mathbb{R}^2 \setminus \mathbb{N}^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \left| A \times C \setminus B^2 \right| = \aleph \end{align*}$

01.11.2024, 16:33

Elvis

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Das cartesische Produkt $\begin{eqnarray*} C\times A \end{eqnarray*}$ ist ein Rechteck mit $\begin{eqnarray*} |C|\cdot |A| \end{eqnarray*}$ Elementen. Daraus wird das Quadrat $\begin{eqnarray*} B\times B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |B|\cdot |B| \end{eqnarray*}$ Elementen entfernt. Weil B im Durchschnitt von A und C liegt, liegt das Quadrat im Rechteck.
A, B, C waren als endliche Mengen vorausgesetzt.

01.11.2024, 16:34

Leopold

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Korrektur.

Ich habe den zusammengeschobenen Text des Fragestellers nicht richtig entziffert. Beim zweiten Lesen sehe ich, daß es um endliche Mengen geht. Sorry.

01.11.2024, 16:42

Leopold

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@Elvis
Wir beide verstehen die bildhafte Sprache von "Rechteck" und "Quadrat", die wir aus der Geometrie in die Mengenlehre übernehmen. Den Fragesteller könnte das eher verwirren, weil er sich ein wirkliches Rechteck und ein wirkliches Quadrat vorstellt.

01.11.2024, 17:11

werner

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Zitat:

Original von Leopold
@Elvis
Wir beide verstehen die bildhafte Sprache von "Rechteck" und "Quadrat", die wir aus der Geometrie in die Mengenlehre übernehmen. Den Fragesteller könnte das eher verwirren, weil er sich ein wirkliches Rechteck und ein wirkliches Quadrat vorstellt.

korrekt

01.11.2024, 17:24

tobit

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Hallo werner,

es gelten folgende Rechenregeln für alle Mengen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ :

Sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ endlich, so sind auch $\begin{eqnarray*} X\times Y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X\setminus Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X\cup Y \end{eqnarray*}$ endlich und es gelten:
1. $\begin{eqnarray*} |X\times Y|=|X|\cdot|Y| \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} |X\setminus Y|=|X|-|Y| \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} Y\subseteq X \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} |X\cup Y|=|X|+|Y| \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} X\cap Y=\emptyset \end{eqnarray*}$ (d.h. falls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ disjunkt sind).

Mit diesen Rechenregeln kann man die Aufgabe unter Beachtung von $\begin{eqnarray*} B\times B\subseteq C\times A \end{eqnarray*}$ (was man auch zeigen sollte) lösen.

Ich behaupte nun, dass du diese Rechenregeln im Grunde genommen im Sachzusammenhang schon aus der Grundschule kennst:

Zu 3.: Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ z.B. die Menge der Murmeln, die ich gerade in der linken Hand halte und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Menge der Murmeln, die ich gerade in der rechten Hand halte. Nehmen wir weiter an, dass ich keine Murmel in beiden Händen gleichzeitig halte, also $\begin{eqnarray*} X\cap Y=\emptyset \end{eqnarray*}$ gilt. Wie berechnest du dann die Anzahl $\begin{eqnarray*} |X\cup Y| \end{eqnarray*}$ der Murmeln, die ich in beiden Händen zusammen halte? Richtig, du addierst die Anzahl $\begin{eqnarray*} |X| \end{eqnarray*}$ der Murmeln in der linken Hand und die Anzahl $\begin{eqnarray*} |Y| \end{eqnarray*}$ der Murmeln in der rechten Hand.

Zu 2.: Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Menge der sich in meinem Haushalt befindlichen Äpfel und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Teilmenge der leider verdorbenen Äpfel in meinem Haushalt. Wie viele Elemente enthält die Menge $\begin{eqnarray*} X\setminus Y \end{eqnarray*}$ der nicht verdorbenen (also noch guten) Äpfel in meinem Haushalt? In der Grundschule hast du gelernt, dass du einfach die Anzahl $\begin{eqnarray*} |Y| \end{eqnarray*}$ der verdorbenen Äpfel von der Anzahl $\begin{eqnarray*} |X| \end{eqnarray*}$ aller Äpfel aus meinem Haushalt abziehst.

Zu 1.: Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Menge deiner Hosen und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die Menge deiner Pullover. Wie viele Outfits (also Elemente von $\begin{eqnarray*} X\times Y \end{eqnarray*}$ ) bestehend aus genau einer Hose und genau einem Pullover kannst du damit zusammenstellen? Offenbar gibt es für jede Hose $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} |Y| \end{eqnarray*}$ Outfits mit dieser Hose, macht insgesamt Anzahl der Hosen mal Anzahl der Pullover, also $\begin{eqnarray*} |X|\cdot|Y| \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Tobias

01.11.2024, 20:33

Elvis

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Hier stelle ich mir eine endliche Menge A auf der x-Achse von 1 bis n und eine endliche Menge C auf der y-Achse von 1 bis m angeordnet vor, das Rechteck ist dann das cartesische Produkt CxA. Weil B Teilmenge von A und von C ist, kann ich BxB als Quadrat von 1 bis k auf x- und y-Achse sehen. Die geometrische Vorstellung passt genau zu der Mengenvorstellung, denn es ist |A|=n, |C|=m, |B|=k, |CxA|=m*n, |BxB|=k*k, |CxA\BxB|=m*n-k*k=|C|*|A|-|B|*|B| (was zu beweisen war).

02.11.2024, 09:56

werner

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Zitat:

Original von Elvis
Das cartesische Produkt $\begin{eqnarray*} C\times A \end{eqnarray*}$ ist ein Rechteck mit $\begin{eqnarray*} |C|\cdot |A| \end{eqnarray*}$ Elementen. Daraus wird das Quadrat $\begin{eqnarray*} B\times B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |B|\cdot |B| \end{eqnarray*}$ Elementen entfernt. Weil B im Durchschnitt von A und C liegt, liegt das Quadrat im Rechteck.
A, B, C waren als endliche Mengen vorausgesetzt.

jetzt habe sogar ich es (mit deinem obigen Text ) kapiert.
herzlichen Dank
werner

02.11.2024, 10:04

Elvis

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Prima. Die Anordnung der Mengen funktioniert übrigens, weil eine Menge nur durch ihre Elemente eindeutig bestimmt ist. Deswegen darf man sie ordnen und darstellen wie immer man möchte. Jedes Kästchen im Rechteck CxA enthält dann genau ein Paar (c,a) mit c in C und a in A. Und alle diese Paare sind paarweise verschieden.

02.11.2024, 10:27

IfindU

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@werner Du kannst dir ja mal überlegen wie eine allgemeine Formel lautet, wenn man die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} B \subset A \cap C \end{eqnarray*}$ weglässt.

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