Gemischter Bruch

04.11.2024, 08:57

Svevn

Gemischter Bruch

Meine Frage:
Gesucht ist ein gemischter Bruch, der exakt den Wert 100 darstellt. Dafür gibt es unendlich viele Lösungen. Unter all denen sind nun die Lösungen gesucht, bei denen jede Ziffer außer 0 genau einmal vorkommt. Der gemischte Bruch soll also mit genau 9 Ziffern geschrieben werden, wobei jede der Ziffern 1 bis 9 genau einmal vorkommt. Davon gibt es noch ca. ein Dutzend Lösungen. Gesucht ist nun davon diejenige Lösung, bei der vor dem Bruchstrich nur eine einzige Ziffer steht.

Meine Ideen:
Leider hab ich bis jetzt keine Idee wie ich diese Aufgabe angehen soll

04.11.2024, 09:37

HAL 9000

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Gesucht ist $\begin{eqnarray*} a\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$ mit der Ziffer $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und den Zahlen $\begin{eqnarray*} b,c \end{eqnarray*}$ , so dass alle 9 Ziffern genau einmal in $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ vorkommen und außerdem $\begin{eqnarray*} a + \frac{b}{c} = 100 \end{eqnarray*}$ gilt.

Für festes $\begin{eqnarray*} a\in\{1,\ldots,9\} \end{eqnarray*}$ muss daher $\begin{eqnarray*} b = (100-a)c \end{eqnarray*}$ gelten. Jetzt kann man noch eine Weile forschen, wie man das mit der Ziffernzuordnung von $\begin{eqnarray*} \{1,\ldots,9\}\setminus\{a\} \end{eqnarray*}$ auf die Zahlen $\begin{eqnarray*} b,c \end{eqnarray*}$ hinkriegt - oder man setzt brachial Bruteforce an:

Ganz offenbar ist $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ja maximal vierstellig, all zuviel ist also nicht durchzuprobieren, mit einem kleinen Skript sollte das machbar sein. Augenzwinkern

04.11.2024, 09:40

Steffen Bühler

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Außerdem kann man schnell zeigen, dass a weder 1 noch 5 noch 9 sein kann. Das schränkt den brute force noch weiter ein.

04.11.2024, 10:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das schränkt den brute force noch weiter ein.

In der Tat schränkt das die Bruteforce-Rechenzeit von 24ms auf 17ms ein. Big Laugh

EDIT: Mehr bringt die Erkenntnis, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gar nicht vier oder mehr Stellen haben kann:

Denn dann wäre $\begin{eqnarray*} c\geq 1234 \end{eqnarray*}$ sowie in der Folge $\begin{eqnarray*} b=(100-a)c\geq 91\cdot 1234 = 112294 \end{eqnarray*}$ mindestens sechsstellig, was zuviel Ziffern sind.

Daher reicht es $\begin{eqnarray*} 123\leq c\leq 987 \end{eqnarray*}$ zu checken, was die Zeiten nochmals um mindestens Faktor 10 senkt.

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