Nicht konvergente Teilfolgen einer beschränkten Folge, unendliche Banachräume

06.11.2024, 15:13

Weduschji

Nicht konvergente Teilfolgen einer beschränkten Folge, unendliche Banachräume

Meine Frage:
Hallo miteinander!

Mein Anliegen ist es in gewissen unendlichen Banachräume beschränkte folgen zu finden, die keine konvergente teilfolge haben. Ich weiß, dass das Riesz Lemma nützlich sein könnte. Die Räume wären:

a) l^p räume für 1<=p<= unendlich
b) C([0,1]) Raum aller stetigen Funktionen auf [0,1]
c) L^p([0,1]) für 1<=p< unendlich
d) H^unendlich (Hardy Raum)

Für die a hätte ich die folge der Einheitsvektoren gewählt. Ich habe gezeigt, dass der Abstand zweier folgenglieder konstant ist und damit kann keine teilfolge konvergieren. Bei der b) hab ich vielleicht an irgendwas mit dem sinus gedacht, aber daran hänge ich jetzt schon paar tage.

Meine Ideen:

Für die a hätte ich die folge der Einheitsvektoren gewählt. Ich habe gezeigt, dass der Abstand zweier folgenglieder konstant ist und damit kann keine teilfolge konvergieren. Bei der b) hab ich vielleicht an irgendwas mit dem sinus gedacht, aber daran hänge ich jetzt schon paar tage

06.11.2024, 16:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Weduschji
Bei der b) hab ich vielleicht an irgendwas mit dem sinus gedacht, aber daran hänge ich jetzt schon paar tage

Ich würde eher empfehlen: Keep it simple.

Bei b) kann man dazu sich viel überlegen, z.B.

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = \left( 1 - \left|2^{n+1}x-3\right|\right)_+ \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$

Der Funktionsgraph besteht aus vier Strecken: Von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \left(2^{-n},0\right) \end{eqnarray*}$ , von dort bis $\begin{eqnarray*} \left(3\cdot 2^{-n-1},1\right) \end{eqnarray*}$ , weiter bis $\begin{eqnarray*} \left(2^{-n+1},0\right) \end{eqnarray*}$ und von dort bis $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

Wie konstruiert gilt $\begin{eqnarray*} f_n\left(3\cdot 2^{-n-1}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} f_k\left(3\cdot 2^{-n-1}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\neq n \end{eqnarray*}$ gilt, d.h., mit Supremumnorm ist $\begin{eqnarray*} \left\|f_n-f_k\right\| = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\neq n \end{eqnarray*}$

Für c) kann man das adaptieren durch eine passende Streckung in y-Richtung.

EDIT: Das überzählige ",1" in den Argumenten von $\begin{eqnarray*} f_n,f_k \end{eqnarray*}$ entfernt.

06.11.2024, 17:24

Weduschij

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Danke für die Antwort, mir ist nur die schreibweise nicht geläufig. was heißtt denn fn(x,y)=z in dem fall?

06.11.2024, 17:57

HAL 9000

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Gar nichts - das ist ein Copy+Paste-Fehler meinerseits. Ich werde ihn gleich korrigieren, danke für den Hinweis. Augenzwinkern

07.11.2024, 12:08

Weduschij

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hey,

viele dank, die b) hab ich soweit verstanden. Zur c) versteh ich nicht genau was eine streckung in y richtung bewirken soll, der betragsstrich macht die funktion doch "undifferenzierbar", da bewirkt doch auch eine streckung nichts oder ?

07.11.2024, 12:23

HAL 9000

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Wozu brauchst du bei $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ Differenzierbarkeit? Nach meinem Verständnis heißt $\begin{eqnarray*} f\in L^p([0,1]) \end{eqnarray*}$ einfach nur $\begin{eqnarray*} \int\limits_{[0,1]} \left|f(x)\right|^p ~ \dd\lambda(x) < \infty \end{eqnarray*}$ mit Norm $\begin{eqnarray*} \left\| f\right\|_p := \left( \int\limits_{[0,1]} \left|f(x)\right|^p ~ \dd\lambda(x) \right)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$ .

Oder was verstehst du darunter? verwirrt

07.11.2024, 12:54

Weduschij

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ach ja sorry, hab mich vertan, danke

07.11.2024, 17:57

HAL 9000

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Ja, die Idee ist die: Man berechnet $\begin{eqnarray*} c_{n,p} = \left\| f_n\right\|_p \end{eqnarray*}$ für die obigen Dreiecksfunktionen und definiert dann die Funktionen $\begin{eqnarray*} g_{n,p}:= \frac{f_n}{c_{n,p}} \end{eqnarray*}$ :

Dann gilt laut Konstruktion $\begin{eqnarray*} \left\|g_{n,p}\right|_p = 1 \end{eqnarray*}$ , und da die Urbilder $\begin{eqnarray*} g_{n,p}^{-1}\left(\left(0,1\right]\right) = f_n^{-1}\left(\left(0,1\right]\right) = \left( 2^{-n-1}, 2^{-n}\right) \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt sind, gilt $\begin{eqnarray*} \left\|g_{n,p}-g_{k,p}\right\|_p = \left(1+1\right)^{\frac{1}{p}} = 2^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\neq k \end{eqnarray*}$ , also konstant bzgl. dieser $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ . Damit kann es für $\begin{eqnarray*} \left(g_{n,p}\right)_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ keine konvergente Teilfolge geben.

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