Beweis Monotonie anhand lokaler Lipschitz-Stetigkeit

07.11.2024, 10:55

jm0004

Beweis Monotonie anhand lokaler Lipschitz-Stetigkeit

Meine Frage:
Hallo, folgende Aufgabe verstehe ich nicht:

Es sein f: R->R lokal Lipschitz stetig und y:[0,?)->R eine differenzierbare Funktion welche y´(t) = f(y(t)) für alle t>0 erfüllt.

a) Zeige, dass y monoton wachsend ist.

b) Wegen a) exestiert y* := lim(t->?) für y(t) in [-?,?]. Zeige, dass falls y* eine reelle Zahl ist, stets f(y*) = 0 gilt.

Meine Ideen:
Also bis jetzt habe ich probiert es anhand der definition von monotonie stetiger funktionen in eine Lipschitz stetigkeit zu überfphren, war aber erfolglos.

07.11.2024, 11:13

HAL 9000

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Ich nehme mal an, ? steht für $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

a) ist falsch - Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} f(x)=-1 \end{eqnarray*}$ ist Lipschitz-stetig, und $\begin{eqnarray*} y(x) = -x \end{eqnarray*}$ erfüllt die DGL $\begin{eqnarray*} y' = f(y) = -1 \end{eqnarray*}$ , ist aber gewiss nicht monoton wachsend.

Hast du dich möglicherweise verschrieben und meinst statt $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dann doch $\begin{eqnarray*} f:~\mathbb{R}\to \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Zitat:

Original von jm0004
b) Wegen a) exestiert y* := lim(t->?) für y(t) in [-?,?].

Nochmal bitte - das ist unverständlich. unglücklich

07.11.2024, 11:22

jm0004

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Hallo und danke für die schnelle Antwort. die ? stehen für unendlich, aber beim Rest habe ich mich nicht verschrieben.

10.11.2024, 23:51

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Zitat:

Original von jm0004
aber beim Rest habe ich mich nicht verschrieben.

Angesichts der Aufgabenstellung "Zeige, dass y monoton (wachsend oder fallend) ist" kann man da schon anderer Meinung sein.
Zur Lösung von a) siehe hier

11.11.2024, 08:25

HAL 9000

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Wenn man "monoton wachsend oder fallend" in "monoton wachsend" umwandelt, dann ist das tatsächlich kein Verschreiber - sondern eine krasse inhaltliche Verstümmelung. Mein Gegenbeispiel deckt den Unterschied ja klar auf. unglücklich

Dagegen hast du in b) mitten in den Grenzwertterm ein "für" hinzugedichtet, was dort nicht hingehört und das ganze ebenfalls inhaltlich entstellt.

Stell das nächste mal doch gleich einen Scan ein, wenn du nicht in der Lage bist, die Aufgabenstellungen unfallarm wiederzugeben.

Zu b) Bei endlichem Grenzwert $\begin{eqnarray*} y^* \end{eqnarray*}$ gilt offenkundig $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(y(n+1)-y(n)\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Nach Mittelwertsatz existiert dann ein $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n<t_n<n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(n+1)-y(n) = y'\left(t_n\right)\cdot (n+1-n) = y'\left(t_n\right) \end{eqnarray*}$ , damit ist

$\begin{eqnarray*} 0 = \lim_{n\to\infty} y'\left(t_n\right) = \lim_{n\to\infty} f\left(y\left(t_n\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

Aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgt die Behauptung.

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