Würfelspiel

11.11.2024, 11:32

Sin_City

Würfelspiel

Meine Frage:
Gegeben sind 2 Würfel. Nun soll man einen Betrag $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit einer Quote von $\begin{eqnarray*} 1:1 \end{eqnarray*}$ darauf wetten, dass genau ein Würfel eine 6 zeigt und einen Betrag $\begin{eqnarray*} 1-x \end{eqnarray*}$ mit Quote $\begin{eqnarray*} 2:1 \end{eqnarray*}$ darauf wetten, dass beide Würfel eine 6 zeigen.
Nun zu meiner Frage: Hier ist es am besten, wenn man alles auf die Wette mit dem höchsten Erwartungswert setzt. Ist dies immmer so? Oder gibt es Szenarien (eventuell auch mit mehr als 2 Wettmöglichkeiten), bei denen es sich lohnt das Guthaben auf mehrere Wetten zu verteilen. Wie kann man dann vorgehen die beste Verteilung des Guthabens zu ermitteln?

Meine Ideen:
Beim Spiel mit 2 Würfeln oben wird der Erwartungswert maximal, wenn man alles auf die erste Wette setzt, mit erwarteten Profit von $\begin{eqnarray*} P=\frac{11}{36}-\frac{25}{36}=\frac{-14}{36} \end{eqnarray*}$

11.11.2024, 12:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sin_City
Hier ist es am besten, wenn man alles auf die Wette mit dem höchsten Erwartungswert setzt. Ist dies immmer so?

Sofern "maximaler mittlerer Gewinn" dein Kriterium ist, lautet die Antwort "Ja".

Es gibt ja aber auch andere Kriterien, meistens gemischt bezogen auf Erwartungswert einerseits und Standardabweichung (als Maßzahl für das Risiko) andererseits.

11.11.2024, 12:31

Sin_City

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Ok, das klingt interessant. Könntest du vielleicht ein Beispiel geben?

11.11.2024, 13:01

HAL 9000

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Du hast übrigens einen Fehler in deiner Rechnung: Die Wahrscheinlichkeit für "genau (!) eine 6" ist nicht $\begin{eqnarray*} \frac{11}{36} \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} \frac{10}{36} \end{eqnarray*}$ .

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Nehmen wir mal an, die Quote für Doppel-Sechs wäre statt 2 : 1 dann doch n : 1 gewesen, mit zunächst noch offenem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} Y= xY_1 + (1-x)Y_2 \end{eqnarray*}$ der Bruttoertrag im oben beschriebenen Szenario, wobei $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y_2 \end{eqnarray*}$ die Bruttoerträge nach den reinen Strategien 1 bzw. 2 kennzeichnen. Und daraus ergibt sich nach Abzug des Einsatzes mit $\begin{eqnarray*} X=Y-1 \end{eqnarray*}$ der eigentliche Gewinn.

Es ist $\begin{eqnarray*} P(Y_1=2) = \frac{10}{36},P(Y_1=0) = \frac{26}{36} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(Y_2=n+1) = \frac{1}{36},P(Y_2=0) = \frac{35}{36} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} E(Y_1) = \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} E(Y_2) = \frac{n+1}{36} \end{eqnarray*}$ , und in der Mischung $\begin{eqnarray*} E(Y) = x\cdot E\left(Y_1\right) + (1-x)\cdot E\left(Y_2\right) = \frac{n+1 + (19-n)x}{36} \end{eqnarray*}$ .

D.h. für $\begin{eqnarray*} n<19 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ am besten, also alles auf Strategie 1. Für $\begin{eqnarray*} n>19 \end{eqnarray*}$ dagegen ist alles auf Strategie 2 besser, also $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} n=19 \end{eqnarray*}$ ist es egal, da haben wir immer $\begin{eqnarray*} E(Y)= \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} E(X)= -\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$ , hier könnte man sich dann doch auch noch die Varianz genauer anschauen:

Es ist stets $\begin{eqnarray*} Y_1Y_2=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} Y^2 = x^2Y_1^2 + (1-x)^2Y_2^2 \end{eqnarray*}$ folglich gilt dann

$\begin{eqnarray*} E(Y^2) = x^2E(Y_1^2) + (1-x)^2E(Y_2^2) = 4x^2\cdot \frac{10}{36} + 400(1-x)^2 \cdot \frac{1}{36} = \frac{110x^2 - 200x + 100}{9} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} V(X) = V(Y) = E(Y^2)- (E(Y))^2 = \frac{990x^2-1800x + 875}{81} = \frac{110}{9}\left(x-\frac{10}{11}\right)^2 + \frac{625}{891} \end{eqnarray*}$ .

Diese quadratische Funktion wird minimiert durch $\begin{eqnarray*} x = \frac{10}{11} \end{eqnarray*}$ , d.h. dort bekäme man die geringste Standardabweichung.

P.S.: Hoffe, ich habe mich nicht auch verrechnet.

12.11.2024, 07:33

Bobby Fischer

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Ich fand die Fragestellung ganz interessant, richtig spannend wird es aber erst, wenn man versucht im Laufe der Zeit seinen Geldbeutel zu maximieren. Dabei bin ich auf folgenden Link gestoßen https://www.derbybetting.org/betting/hedging/ hier wird das ganze anhand von Pferderennen etwas erläutert. Anscheinend lohnt es sich manchmal auch auf Ereignisse mit schlechteren Quoten/Erwartungswert zu setzen. Ob man ein ähnliche Analyse auch für das Würfelspiel machen kann weiß ich nicht, vielleicht kennt sich HAL da besser aus

12.11.2024, 17:09

Sin_City

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Ich habe mir den Artikel einmal angesehen und die verschiedenen Strategien simuliert (danke ChatGPT). Der Artikel kam zu der Erkenntnis, dass die Variante auf die 4 Pferde zu setzen am besten ist. Die Simulation zeigt dagegen etwas ganz anderes - hier hat fast immer die Strategie mit den 2 14:1 Pferden zusammen mit dem 19:1 Pferd die Nase vorn. Gibt es hierfür vielleicht eine mathematische Begründung oder muss man sich auf die Simulation verlassen?

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Simulation parameters
initial_bankroll = 1  # Starting bankroll
num_trials = 10  # Number of bets in the simulation
true_win_prob = 0.10  # True probability for 19:1 and 14:1 horses
high_prob_win = 0.30  # True probability for 3:1 horse

# Payouts
payout_19_to_1 = 20  # 19:1 payout
payout_14_to_1 = 15  # 14:1 payout
payout_3_to_1 = 3    # 3:1 payout

# Reserve rates and bet fractions for each strategy

# Strategy 1: Single Horse (19:1)
reserve_rate_single = (1 - true_win_prob) / (1 - (1 / payout_19_to_1))
fraction_to_bet_single = true_win_prob - reserve_rate_single / payout_19_to_1

# Strategy 2: Three Horses (19:1 + two 14:1 horses)
reserve_rate_multi = (1 - (3 * true_win_prob)) / (1 - (1 / payout_19_to_1 + 2 / payout_14_to_1))
fraction_to_bet_19_multi = true_win_prob - reserve_rate_multi / payout_19_to_1
fraction_to_bet_14_multi = true_win_prob - reserve_rate_multi / payout_14_to_1

# Strategy 3: Four Horses (19:1, two 14:1, and 3:1)
reserve_rate_four = (1 - (3 * true_win_prob + high_prob_win)) / (1 - (1 / payout_19_to_1 + 2 / payout_14_to_1 + 1 / payout_3_to_1))
fraction_to_bet_19_four = true_win_prob - reserve_rate_four / payout_19_to_1
fraction_to_bet_14_four = true_win_prob - reserve_rate_four / payout_14_to_1
fraction_to_bet_3 = high_prob_win - reserve_rate_four / payout_3_to_1

# Initialize bankrolls for all three strategies
bankroll_single = initial_bankroll
bankroll_multi = initial_bankroll
bankroll_four = initial_bankroll

# Lists to store bankrolls over time
bankroll_history_single = [bankroll_single]
bankroll_history_multi = [bankroll_multi]
bankroll_history_four = [bankroll_four]

# Define cumulative probabilities for each horse
cumulative_probs = [true_win_prob, true_win_prob * 2, true_win_prob * 3, true_win_prob * 3 + high_prob_win]

# Run the simulation for the specified number of trials

for _ in range(num_trials):
    # Determine which horse wins in this round
    random_value = np.random.rand()
    win_19_to_1 = random_value < cumulative_probs[0]
    win_14_to_1_horse1 = cumulative_probs[0] <= random_value < cumulative_probs[1]
    win_14_to_1_horse2 = cumulative_probs[1] <= random_value < cumulative_probs[2]
    win_3_to_1 = cumulative_probs[2] <= random_value < cumulative_probs[3]
    
    # Strategy 1: Single Horse Bet (only on 19:1 horse)
    bet_single = bankroll_single * fraction_to_bet_single
    if win_19_to_1:
        bankroll_single += bet_single * (payout_19_to_1 - 1)  # Profit if win
    else:
        bankroll_single -= bet_single  # Loss if no win
    bankroll_history_single.append(bankroll_single)

    # Strategy 2: Multi-Horse Bet (19:1 + two 14:1 horses)
    bet_19_multi = bankroll_multi * fraction_to_bet_19_multi
    bet_14_1_multi = bankroll_multi * fraction_to_bet_14_multi
    bet_14_2_multi = bankroll_multi * fraction_to_bet_14_multi

    # Calculate the net profit for multi-bet strategy
    multi_profit = 0
    if win_19_to_1:
        multi_profit += bet_19_multi * (payout_19_to_1 - 1)
    elif win_14_to_1_horse1:
        multi_profit += bet_14_1_multi * (payout_14_to_1 - 1)
    elif win_14_to_1_horse2:
        multi_profit += bet_14_2_multi * (payout_14_to_1 - 1)

    # Net gain or loss for this round in the multi-horse strategy
    total_bet_multi = bet_19_multi + bet_14_1_multi + bet_14_2_multi
    bankroll_multi += multi_profit - total_bet_multi
    bankroll_history_multi.append(bankroll_multi)

    # Strategy 3: Four-Horse Bet (19:1, two 14:1, and 3:1)
    bet_19_four = bankroll_four * fraction_to_bet_19_four
    bet_14_1_four = bankroll_four * fraction_to_bet_14_four
    bet_14_2_four = bankroll_four * fraction_to_bet_14_four
    bet_3 = bankroll_four * fraction_to_bet_3

    # Calculate the net profit for four-horse strategy
    four_profit = 0
    if win_19_to_1:
        four_profit += bet_19_four * (payout_19_to_1 - 1)
    elif win_14_to_1_horse1:
        four_profit += bet_14_1_four * (payout_14_to_1 - 1)
    elif win_14_to_1_horse2:
        four_profit += bet_14_2_four * (payout_14_to_1 - 1)
    elif win_3_to_1:
        four_profit += bet_3 * (payout_3_to_1 - 1)

    # Net gain or loss for this round in the four-horse strategy
    total_bet_four = bet_19_four + bet_14_1_four + bet_14_2_four + bet_3
    bankroll_four += four_profit - total_bet_four
    bankroll_history_four.append(bankroll_four)

# Plot the bankroll growth over time for all three strategies
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(bankroll_history_single, label="Single Horse Bet (19:1 only)")
plt.plot(bankroll_history_multi, label="Three Horses Bet (19:1 + two 14:1)")
plt.plot(bankroll_history_four, label="Four Horses Bet (19:1 + two 14:1 + 3:1)")
plt.xlabel("Trial")
plt.ylabel("Total Net Worth")
plt.title("Total Net Worth Over 100 Trials for Different Betting Strategies")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

16.11.2024, 15:57

Sin_City

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