Sitzordnung

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13.11.2024, 07:17	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Sitzordnung Ein reguläres 2n- Eck n= 2,3,4,.. mit Umkreis besitzt n Klassen an Längen der Sekanten, in $\begin{eqnarray} \mathbb D= \{ 1,2,3,\cdots,n \} \end{eqnarray}$ zusammen gefasst. Die realen Längen sind hier unnötig genau, ausreichend ist die Definition: 2 Objekte ( Punkte, Menschen, Steinblöcke in Stonehenge ..)mit streng monotoner Positionen aus $\begin{eqnarray} \mathbb P = \{1, 2, 3, \cdots,2n\} \end{eqnarray}$ kreisänlich angeordnet, haben den Abstand/Distanz $\begin{eqnarray} \text { Minimum (Anzahl dazwischen befindlicher Objekte )} + 1 \leq n \end{eqnarray}$ Hängt aber auch von n ab. Beispiel : A.) Abstand von 10h und 2h auf dem 12 Stundenblatt einer Uhr ist $\begin{eqnarray} 4 = d_{12}(2,10) \end{eqnarray}$ B.)Distanz 10h und 2h auf dem 24 Stundenblatt einer GMT Uhr hingegen ist $\begin{eqnarray} 8 = d_{24}(10,2) \end{eqnarray}$ Die Anordnung muss aber keineswegs geometrisch exakt sein s.o Problem: kann man als Gastgeber einer Konferenz von n Delegationen a 2 Personen, aus n Ländern kommend, an einen "runden" Tisch so platzieren, dass jedes Paar seine individuelle Sitzdistanz hat, oder dass die Funktion : Distanz der Paare nach 1,2,3,..., n bijektiv ist? ein erster Test ergibt : $\begin{eqnarray} \text {2 Paare haben jeweils dieselbe innere Distanz 1 oder 2} \quad (nein) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{3 Paare haben immerAbstände vom Typ aaa oder aab }\quad (nein) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{4 Paare können aber wiefolgt sitzen:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_8(P1) = d_8(1, 2) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_8(P2) = d_8(4, 6) = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_8(P3) = d_8(5 ,8) = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_8(P4) = d_8(3, 7) = 4 \qquad \boxed {(ja,Bijektion)} \end{eqnarray}$ Aber nicht jeder Versuch der Anordnung ist ein Erfolg : [attach]57988[/attach] Für welche n ist dies positiv möglich und wie konstruiert man die n disjunkten 2 elementigen Teilmengen aus {1,2,3,4,..., 2n} ?
13.11.2024, 09:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} n=5 \end{eqnarray}$ klappt es jedenfalls auch: (1,6) , (3,7) , (5,8) , (2,4) , (9,10) Für $\begin{eqnarray} n=4k+2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n=4k+3 \end{eqnarray}$ kann ich einen Unmöglichkeitsbeweis beisteuern: Man färbe die Punkte $\begin{eqnarray} 1,\ldots,2n \end{eqnarray}$ alternierend mit rot und blau. Gruppiert man diese $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ Punkte nun in $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Paare, so ergeben sich für die $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} 2k+2 \end{eqnarray}$ ungeraden Abstände jeweils Paare (rot,blau). Nach Abzug dieser Paare verbleiben genau $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ rote sowie auch $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ blaue Punkte. Aus denen muss man nun $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ Paare mit jeweils geraden Abständen bilden, was aber jeweils nur mit (rot,rot) oder (blau,blau) gelingt. Letzteres geht aber nur, wenn die Anzahlen von roten wie blauen Restpunkten gerade ist, was bei $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ ja nun eben nicht der Fall ist. qed Du kannst daher deine Bemühungen, solche Konfigurationen zu finden, auf die beiden Fälle $\begin{eqnarray} n=4k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=4k+1 \end{eqnarray}$ beschränken. P.S.: Eine Idee wäre es, in einer Induktion $\begin{eqnarray} n-4\to n \end{eqnarray}$ aus einer gültigen $\begin{eqnarray} (n-4) \end{eqnarray}$ -Konfiguration eine gültige für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zu basteln - sehe jetzt aber noch nicht, wie das gehen könnte. EDIT (14.11.): Ich gehe mal davon aus, Dopap hat trotz Vorbeischauens geschwiegen, weil er gerade intensiv über die konstruktive Lösung für die Fälle $\begin{eqnarray} n=4k \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} n=4k+1 \end{eqnarray}$ nachdenkt.
19.11.2024, 11:58	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau so ist es! Manche Beweise ziehen sich eben hin... bis der Ideenfunke sich meldet oder auch nicht. Beispiel: es gibt es genau eine der möglichen $\begin{eqnarray} (4\cdot 27 +4)^{2\cdot 27} \approx 4.5E110 \end{eqnarray}$ Busy Beaver Maschinen mit 27 Zuständen, bei der der Nachweis, ob die irgendwann anhält oder nicht, gleichwertig damit ist die Goldbach Vermutung zu beweisen und umgekehrt. Ansonsten könnte es sein, dass ich zur Zeit eventuell dem allgemeinen Übergang von 4n+1 auf 4n+5 auf der Spur bin Dazu wäre eine Grafik hilfreich aber mit PAINT ist das so eine Sache...
22.11.2024, 10:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Idee für 4n Wie so oft ist vereinfachte grafische Darstellung ein gutes Hilfsmittel um Fortschritte zu erzielen. Warum also nicht wie im ersten Bild die Positionen komplett weglassen und nur die Verbindungen samt Distanzen verwenden? Die Idee war nun, alle geraden DistanzPaare ( 2 4 6 8 in Schwarz) parallel zu zeichnen was dann sofort zwingend zur Folge hat, die längste ungerade Distanz 7 "senkrecht" dazu zu setzen. [attach]58015[/attach] Der Einbau von 3, 5 und 1 forderte Probierarbeit ab, aber der Fall n=8 in Schwarz ist dann endlich gelöst. Die Erweiterung auf n=12 in Rot verändert einige der schwarzen Distanzen, ist aber nicht eingezeichnet, kann man sich aber selber ummalen. Die Nächste auf n=16 in Grün geht entsprechend. Allgemein entstehen folgende disjunkte Teil-Mengen von {1,2,3,...,4n}: die Parallelmenge* {2, 4, 6, 8, ... ,4n} den dazu "senkrechten" Isolani {4n-1} den "45°" Isolani {2n-1} den fixen Isolani {1} die Parallelmenge* {3, 5, 7, ... ,2n-3} die restliche Parallelmenge* {2n+1, 2n+3, ... , 4n-3} ) zumindest wenn reguläres Viel-Eck vorliegt zu dem Falle 4n+1 fehlt mir wegen dem nervigen Malprogramm die Motivation, müsste aber ähnlich funktionieren. wäre dann die Aufgabe somit gelöst? ja und nein, funktioniert aber sicherlich für sinnvolle n EDIT:* sehe gerade, dass das verwendete n nicht einheitlich ist. Einmal als Anzahl der Paare und einmal als Faktor in 4n.
22.11.2024, 12:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich verstehe deine Skizze und Beschreibung beim Übergang von $\begin{eqnarray} n=4k \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} n=4k+4 \end{eqnarray}$ so (in deiner Skizze wäre das $\begin{eqnarray} k=3 \end{eqnarray}$ ): 1) Die $\begin{eqnarray} 2k \end{eqnarray}$ parallelen geraden Strecken "rot $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 4k \end{eqnarray}$ " behalten ihre Distanzzahlen, werden also zu "grün $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 4k \end{eqnarray}$ ", neu hinzukommen "grün $\begin{eqnarray} 4k+2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4k+4 \end{eqnarray}$ ". 2) Die längste ungerade Strecken "rot $\begin{eqnarray} 4k-1 \end{eqnarray}$ " wird durch Hinzufügen von jeweils 4 neuen Punkten links wie rechts dieser Strecke zu "grün $\begin{eqnarray} 4k+3 \end{eqnarray}$ ". 3) Die mittlere ungerade Strecke "rot $\begin{eqnarray} 2k-1 \end{eqnarray}$ " wird zu "grün $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ ", weil auf ihrer kurzen Seite nur 2 neue Punkte auf dem Kreisumfang hinzukommen. 4) Die 1-Strecke bleibt, d.h. es kommt kein Punkt dazwischen. 5) Die parallelen ungeraden Strecken "rot $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2k-3 \end{eqnarray}$ " bleiben, werden also zu "grün $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2k-3 \end{eqnarray}$ ". eine neue Paralele "grün $\begin{eqnarray} 2k-1 \end{eqnarray}$ " kommt hinzu. 6) Die parallelen ungeraden Strecken "rot $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 4k-3 \end{eqnarray}$ " werden zu "grün $\begin{eqnarray} 2k+5 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 4k+1 \end{eqnarray}$ ", es kommt vorn eine neue Parallele "grün $\begin{eqnarray} 2k+3 \end{eqnarray}$ " hinzu. Sofern ich nicht gerade einer massiven optischen (evtl. auch logischen) Täuschung unterliege, müsste das klappen. [attach]58017[/attach] Na wenn du dich genug ausgeruht hast, müsste es mit dieser Erfahrung dann auch möglich sein, was für $\begin{eqnarray} n=4k+1 \end{eqnarray}$ zu basteln.
24.11.2024, 04:59	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
4k+1 tolles Zeichenprogramm! sorry, keine Skizze, aber mit Papier und Bleistift fand ich für 4k +1 eine ähnliche Struktur M1: Parallel {3,5,7 ... 4k-1} M2: senkrechter max Isolani {4k+1} M3: "45°" Isolani {2k} M4: Parallel {2,4,6, ... 2k-2} M5: fixer isolani {1} M6: Rest parallel {2k+2, 2k+4, ... 4k} die 1 trennt M4 und M6, ein Endpunkt von 3 trennt M1 und M6 die 3 enthält einen Punkt von M2 und einen von M3 die 2 enthält einen von M2 das Anwachsen der Mengen beim Übergang von 4k+1 --> 4k+5 bestimmt die Lage der neuen Linien. hier eine mit etwas Geduld entstandene ungeordnete Liste für 21 Paare und in meiner Nomenklatura (s.o.) Beispielhaft so zu lesen: $\begin{eqnarray} 13(36,7):=d_{42}(36,7)=13 \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------------------------------------------------- Tisch21 = { 21(21,42), 14(23,9), 18(14,32), 3(13,16), 8(41,33), 19(3,22), 6(12,6), 13(36,7), 4(24,28), 10(10,20), 17(29,4), 15(17,2), 9(34,1), 11(19,30), 7(8,15), 12(5,35), 5(31,26), 16 (11,37), 1(39,38), 2(27,25), 20(40,18)}
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25.11.2024, 09:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verzichte jetzt auch auf die mühsame Skizze, vollziehe aber deine Beschreibung mit konkreten Streckenangaben nach (hab M4 und M5 vertauscht, wg. Vergleich mit dem anderen Fall): M1: 3(2k-1,2k+2) , 5(2k-2,2k+3) , ... , 4k-1(1,4k) ungerade Strecken M2: 4k+1(2k,6k+1) M3: 2k(2k+1,4k+1) M4: 1(7k+1,7k+2) M5: 2(6k,6k+2) , 4(6k-1,6k+3), ... , 2k-2(5k+2,7k) gerade Strecken M6: 2k+2(5k+1,7k+3) , 2k+4(5k,7k+4) , ... , 4k(4k+2,8k+2) gerade Strecken Passt (jeder Punkt und jede der Streckenlängen kommen je genau einmal vor) - herzlichen Glückwunsch! Nachgereicht für den obigen Fall n=4k noch eine analoge Notation M1: 2(2k,2k+2) , 4(2k-1,2k+3), ... , 4k(1,4k+1) gerade Strecken M2: 4k-1(2k+1,6k) M3: 2k-1(4k+2,6k+1) M4: 1(7k,7k+1) M5: 3(6k-1,6k+2) , 5(6k-2,6k+3) , ... , 2k-3(5k+2,7k-1) ungerade Strecken M6: 2k+1(5k+1,7k+2) , 2k+3(5k,7k+3) , ... , 4k-3(4k+3,8k) ungerade Strecken Die beiden genannten Konfigurationen kommen übrigens ohne "wrap around" bei $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ aus, d.h. Notation $\begin{eqnarray} c(a,b) \end{eqnarray}$ bedeutet hier tatsächlich stets $\begin{eqnarray} c=b-a \end{eqnarray}$ . Zusammen mit dem obigen Unmöglichkeitsbeweis für n=4k+2 sowie n=4k+3 sind damit alle Fälle abgedeckt. P.S.: Beide Konfigurationen klappen auch bereits mit k=1: Bei n=4k fallen dabei die Fälle M3,M5,M6 weg, bei n=4k+1 nur der Fall M5.
26.11.2024, 06:04	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Gestern war Schach-WM Start und somit natürlich abgelenkt; Ding Liren gewinnt mit Schwarz! Hat aber nicht geschadet, denn die Edits haben zugleich noch die offene Frage beantwortet, inwiefern das Problem auch für lange gerade Sitzreihen lösbar ist, nämlich immer dann wenn es auch im Rund möglich ist! Ein Nutzen ist schwerlich erkennbar, aber das gilt für viele andere Dinge ebenso.
26.11.2024, 09:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das letzte Bild war noch mühsame Handarbeit, jetzt pyplot: [attach]58026[/attach] [attach]58027[/attach]

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