Ungleichung auflösen

14.11.2024, 10:04

DorotheaMathe

Ungleichung auflösen

Meine Frage:
Guten Morgen,

ich beiße mir seit 2 Wochen die Zähne an der Lösung von der Übungsaufgabe 1c aus (S.17 Heft 2), Auflösen nach z. Wie kommt man von der ausgeschriebenen Gleichung für dN/dz = -0,2+1/2 *[0,04z²+40z]^(-05) * (0,08z+40) > 0

auf die zweite Zeile? 0,2z+100> [0,04z²+40z]^0,5

?

Meine Ideen:
Auf die rechte Seite komme ich auch mit Potenzgesetzen, aber wie kommt der rechte Term zustande? Bei mir bleibt

-0,2 + 1/2 * (0,08+40z) stehen, das ist nie im Leben 0,2z+ 100

14.11.2024, 11:16

HAL 9000

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Lesbar soll das wohl bedeuten: Wie kommt man von $\begin{eqnarray*} -0{,}2 + \frac{1}{2}\cdot \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{-0{,}5} \cdot (0{,}08z+40) > 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0{,}2z+100> \left[0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} 0{,}2 \end{eqnarray*}$ addieren und dann das ganze mit $\begin{eqnarray*} 5\cdot \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ multiplizieren ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{-0{,}5} \cdot (0{,}08z+40) > 0{,}2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}\cdot (0{,}08z+40) > \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$

Jetzt links noch ausmultiplizieren, und dann steht es da.

Zitat:

Original von DorotheaMathe
Bei mir bleibt -0,2 + 1/2 * (0,08+40z) stehen

Ich möchte lieber nicht wissen, nach welchen "Rechenregeln" du da vorgegangen bist. Wichtig ist nur, dass du diese besser schnell vergisst und dich an die üblichen hältst.

14.11.2024, 19:53

DorotheaMathe

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Dankeschön, aber mir erschließt sich der Schritt mit 5 multiplizieren und dem Klammerausdruck überhaupt nicht, wie dann das untere herauskommen soll...

Auf die rechte Seite komme ich mit den einfachen Potenzgesetzen...

14.11.2024, 19:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von DorotheaMathe
Dankeschön, aber mir erschließt sich der Schritt mit 5 multiplizieren und dem Klammerausdruck überhaupt nicht, wie dann das untere herauskommen soll...

Wenn dich die Multiplikation der Gleichung mit $\begin{eqnarray*} 5\cdot \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ überfordert, dann teile ich sie eben auf in zwei Multiplikationen: Erst mit 5 und anschließend mit $\begin{eqnarray*} \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{-0{,}5} \cdot (0{,}08z+40) > 0{,}2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}\cdot \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{-0{,}5} \cdot (0{,}08z+40) > 1 \end{eqnarray*}$ (beachte dabei rechts $\begin{eqnarray*} 0{,}2\cdot 5 = 1 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}\cdot (0{,}08z+40) > \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ (beachte dabei links $\begin{eqnarray*} \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{-0{,}5}\cdot \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} = \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^0 = 1 \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Original von DorotheaMathe
Auf die rechte Seite komme ich mit den einfachen Potenzgesetzen...

Ganz sicher nicht. Nenne Details dieser Umformung (so wie ich oben detailliert die Umformungen beschrieben habe), und ich sage dir, wo du falsch liegst.

18.11.2024, 17:02

graugraugrau

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Wie finde ich denn schnell heraus , daß man die Umkehrung machen kann, wegen negativem Wurzeln, bei z.?

18.11.2024, 17:13

Elvis

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Addieren und multiplizieren darf man immer. Mit der Wurzel muss natürlich eine positive Zahl gemeint sein, weil sich sonst die Ungleichung umdrehen würde.

20.11.2024, 14:34

graugraugrau

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Wie finde ich denn schnell heraus , daß man die Umkehrung mittels [0,04z2+40z]^0,5 bei [0,04z2+40z]^-0,5 machen kann, wegen negativem Wurzeln, bei z.? Das geht doch nicht immer .

20.11.2024, 15:07

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{-0{,}5} \end{eqnarray*}$ existiert im Reellen nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} 0{,}04z^2+40z>0 \end{eqnarray*}$ ist. In diesem Fall existiert dann aber auch $\begin{eqnarray*} \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ , also wo ist das Problem?

Soweit ich das richtig verstanden habe willst du ja wissen, wie man von einer Ungleichung ausgehend auf die andere kommt - nicht, für welche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ die Ausgangsungleichung definierte Terme enthält, also bleib mal bei der Sache und verzettele dich nicht.

21.11.2024, 14:26

graugraugrau

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{-0{,}5} \end{eqnarray*}$ existiert im Reellen nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} 0{,}04z^2+40z>0 \end{eqnarray*}$ ist. In diesem Fall existiert dann aber auch $\begin{eqnarray*} \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ , also wo ist das Problem?

Soweit ich das richtig verstanden habe willst du ja wissen, wie man von einer Ungleichung ausgehend auf die andere kommt - nicht, für welche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ die Ausgangsungleichung definierte Terme enthält, also bleib mal bei der Sache und verzettele dich nicht.

Deine Lösungsschritte sind doch einfach nachzuvollziehen. Und die Lösung ist da. Wie in der Aufgabe gefordert. Warum also nicht noch Wissen erweitern? Hätte natürlich auch eine neue Frage aufmachen können, aber wenn man schon mal dabei ist.Und wie kommst Du darauf , daß ich nicht bei der Sache wäre, oder mich gar verzettelte?

21.11.2024, 14:37

HAL 9000

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Dann stelle bitte klar eine Anschlussfrage. Für mich sah es so aus, als gehe es noch um die Originalfrage - zumal du bis jetzt nicht klargestellt hast, dass du deine falschen Umformungsschritte eingesehen hast. unglücklich

Und mit "klarer Anschlussfrage" meine ich nicht ein verworrenes

Zitat:

Original von graugraugrau
Wie finde ich denn schnell heraus , daß man die Umkehrung machen kann, wegen negativem Wurzeln, bei z.?

hinwirft, sondern sowas wie

Zitat:

Wie löst man die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0{,}2z+100> \left[0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2024, 15:07

graugraugrau

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für mich sah es so aus, als gehe es noch um die Originalfrage - zumal du bis jetzt nicht klargestellt hast, dass du deine falschen Umformungsschritte eingesehen hast. unglücklich

Ahh, glaube Du verwechselst mich mit der Autorin, weil ich hab keine falschen Umformungsschritte gemacht.

21.11.2024, 15:59

HAL 9000

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Ja, das habe ich tatsächlich verwechselt. Die andere Anmerkung bleibt jedoch bestehen.

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Also gut, lösen wir $\begin{eqnarray*} 0{,}2z+100> \left[0{,}04z^2+40z\right]^{0{,}5} \end{eqnarray*}$ : Zunächst mal kann man mit 5 multiplizieren und erhält dann

$\begin{eqnarray*} z+500 > \sqrt{z^2+1000z}\qquad (1) \end{eqnarray*}$

Notwendig für die Gültigkeit ist offenbar, dass die linke Seite positiv ist, d.h. es muss $\begin{eqnarray*} z > -500 \end{eqnarray*}$ gelten. (2)

Außerdem muss der Radikand nichtnegativ sein, d.h. $\begin{eqnarray*} z\left(z+1000\right)\geq 0 \end{eqnarray*}$ , das bedeutet $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z\leq -1000 \end{eqnarray*}$ , letzteres Intervall fällt wegen (2) weg.

Ok, im folgenden sei also $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Für diese Werte können wir (1) äquivalent quadrieren:

$\begin{eqnarray*} z^2+1000z+250000 > z^2+1000z \end{eqnarray*}$ ,

das ist offenbar stets erfüllt. Lösung der Ausgangs-Ungleichung ist damit einfach $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir allerdings das initiale $\begin{eqnarray*} -0{,}2 + \frac{1}{2}\cdot \left[ 0{,}04z^2+40z\right]^{-0{,}5} \cdot (0{,}08z+40) > 0 \end{eqnarray*}$ , so müssen wir noch $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ausschließen (wg. Division durch Null), d.h., hier ist die Lösung $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ .

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