Stetigkeit und Differenzierbarkeit

16.11.2024, 10:47

SIGI3141592

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Aufgabe im Anhang.

Ich habe bereits mit dem Mittelwertsatz bewiesen,dass wenn x0 > 0,5 oder x0 < 0,5, die Aussage gilt.Jedoch bin ich ratlos, wie ich beweisen soll, wenn x0 = 0,5.

Meine Ideen:

Ich habe bereits mit dem Mittelwertsatz bewiesen,dass wenn x0 > 0,5 oder x0 < 0,5, die Aussage gilt.Jedoch bin ich ratlos, wie ich beweisen soll, wenn x0 = 0,5.

16.11.2024, 11:41

IfindU

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RE: Aufgabe Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Ich mache es vermutlich unnötig kompliziert. Annahme, die ich zum Widerspruch führen willl: $\begin{eqnarray*} | f'(c) | \leq 2 \end{eqnarray*}$ überall.

Angenommen zusätzlich gilt $\begin{eqnarray*} f'(c) < 2 \end{eqnarray*}$ irgendwo auf $\begin{eqnarray*} (0, x_0) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_0) = \int_0^{x_0} f'(z) dz < \int_0^{x_0} 2 dz < 2x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ . D.h. es widerspricht der Annahme , dass $\begin{eqnarray*} f(x_0) = 1 \end{eqnarray*}$ . Also folgt aus $\begin{eqnarray*} |f'(c)| \leq 2 \end{eqnarray*}$ überall, dass $\begin{eqnarray*} f'(c) = 2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0, x_0) \end{eqnarray*}$ sein muss.

Analog für $\begin{eqnarray*} (x_0, 1) \end{eqnarray*}$ .

Siehst du warum das dann zum Widerspruch der ursprünglichen Annahme führt?

16.11.2024, 14:16

SIGI3141592

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Der Widerspruch ist, dass nach dem Satz von Rolle, es einen Punkt p Element (0,1) geben muss, so dass f'(p) = 0.
Wir haben jedoch gefolgert, dass für alle c Element (0,1) f'(c) = 2. Also ist die Annahme falsch und es gibt ein c Element (0,1), so dass | f'(c) | > 2.

16.11.2024, 14:56

SIGI3141592

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RE: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Die Aufgabe
Sei f eine stetige Funktion auf [0, 1] und differenzierbar auf (0, 1) mit den folgenden Eigenschaften:
f(0) = f(1) = 0 und es existiert x_0 in (0, 1), so dass f(x_0) = 1.
Zeigen Sie, dass |f'(c)| > 2 für ein c in (0, 1).

16.11.2024, 15:05

IfindU

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Zitat:

Original von SIGI3141592
Wir haben jedoch gefolgert, dass für alle c Element (0,1) f'(c) = 2.

Hier fehlen Betragsstriche und nur für $\begin{eqnarray*} c \neq x_0 \end{eqnarray*}$ . D.h. du musst noch argumentieren, warum $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ nicht möglich ist.

16.11.2024, 15:22

SIGI3141592

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Der Widerspruch ist, dass nach dem Satz von Rolle, es einen Punkt p Element (0,1) geben muss, so dass f'(p) = 0.
Wir haben jedoch gefolgert, dass für alle c nicht x_0 Element (0,1) | f'(c) | = 2.

Wenn f'(x_0) = 0 wäre, dann wäre f in x_0 nicht stetig, was ein Widerspruch zur Annahme ist.

16.11.2024, 15:26

IfindU

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Nicht-stetig würde ich nicht sagen. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig und (fast) überall differenzierbar. Ein nettes Korollar ist, dass mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar, so erfüllt $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ den Zwischenwertsatz. Selbst wenn $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist.Und d.h. $\begin{eqnarray*} \{ -2, 0, 2\} \end{eqnarray*}$ können ncht die einzigen Werte sein, die eine Ableitung annimmt.

(Fußnote: Vorausgesetzt, dass der Definitionsbereich ein Intervall ist und die Zielmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder eine Teilmenge davon).

16.11.2024, 15:38

SIGI3141592

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[quote]Original von IfindU
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist stetig und (fast) überall differenzierbar. Ein nettes Korollar ist, dass mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar, so erfüllt $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ den Zwischenwertsatz. Selbst wenn $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist. [\quote]

Warum gilt der Zwischenwertsatz für f', auch wenn f' nicht stetig ist?

16.11.2024, 15:45

IfindU

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Es ist praktisch nur der Satz vom Maximum/Minimum. Wenn $\begin{eqnarray*} g'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(y) < 0 \end{eqnarray*}$ für irgendwelche $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ , dann gibt es $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g'(z) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ist nun $\begin{eqnarray*} x <y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x) < f'(y) \end{eqnarray*}$ , so gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x) < m < f'(y) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(z) = m \end{eqnarray*}$ . Beweis: Betrachte $\begin{eqnarray*} g(x) = f(x) - mx \end{eqnarray*}$ und wende den Satz vom Maximum an.

Analog auch mit $\begin{eqnarray*} f'(x) > f'(y) \end{eqnarray*}$ natürlich.

16.11.2024, 16:07

SIGI3141592

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Ok verstehe es jetzt danke

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