Stetigkeit, Differenzierbarkeit u. Monotonie

17.11.2024, 10:47	SIGI3141592	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit, Differenzierbarkeit u. Monotonie Meine Frage: Beweisen Sie: Ist f: [a,b] -> R differenzierbar auf dem offenen Intervall (a,b), sowie stetig in den Randpunkten a,b und gilt f'(x) >= 0 für alle x Element (a,b) so ist f auf [a,b] monoton wachsend. Ich bitte um Korrektur bzw. Verbesserungsvorschläge meines Beweises Meine Ideen: Beweis: Da f auf dem offenen Intervall (a,b) differenzierbar ist, folgt, dass f in (a,b) stetig. f ist in den Punkten a,b stetig. Daraus folgt, dass f in [a,b] stetig. Somit kann der Mittelwertsatz auf f angewendet werden. Sei f nicht auf [a,b] monoton wachsend, dann gibt es x,y Elemente von [a,b] mit x<y und f(x) > f(y). Dann ist ( f(x)-f(y) )\ (x-y) < 0. Mit dem Mittelwertsatz folgt, dass es ein x Element (a,b) gibt, so dass f'(x) < 0. Dies Widerspricht der Aussage, dass f'(x) >= 0 für alle x Element (a,b). Es folgt, dass f auf [a,b] monoton wachsend sein muss.
17.11.2024, 11:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufg. Stetigkeit, Differenzierbarkeit u. Monotonie Stimmt so Alternativ mit dem Mittelwertsatz in Integralform: Für $\begin{eqnarray} x, y \in (a,b) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \leq y \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(y) = f(x) + \int_x^y f'(z) dz \geq f(x) \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} f'(z) \geq 0 \end{eqnarray}$ .
17.11.2024, 13:45	SIGI3141592	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufg. Stetigkeit, Differenzierbarkeit u. Monotonie Danke, den Mittelwertsatz der Integralrechnung kannte ich noch nicht.
17.11.2024, 14:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufg. Stetigkeit, Differenzierbarkeit u. Monotonie Sorry, ist der Fundamentalsatz der Integralgrechnung. Den Mittelwertsatz gibt es auch, aber ist etwas anderes.
17.11.2024, 15:30	SIGI3141592	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufg. Stetigkeit, Differenzierbarkeit u. Monotonie Verstehe, es gilt f(y) - f(x) = $\begin{eqnarray} \int_{x}^{y} \! f'(z) \, dz \end{eqnarray}$ (2. Hauptsatz der Differential -und Integralrechnung) Da f'(z)>= 0, folgt $\begin{eqnarray} \int_{x}^{y} \! f'(z) \, dz \end{eqnarray}$ >= 0 Somit f(y) - f(x) >= 0 bzw. f(y) >= f(x)
17.11.2024, 17:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufg. Stetigkeit, Differenzierbarkeit u. Monotonie Genau.
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