Selbstabbildung und Span von Vektoren

18.11.2024, 12:53

KonverDiv

Selbstabbildung und Span von Vektoren

Hallo

Wenn $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist und $\begin{eqnarray*} v_1 , ... , v_k \end{eqnarray*}$ eine Familie von Vektoren und $\begin{eqnarray*} f(v_1) , ... , f(v_k) \end{eqnarray*}$ den Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ aufspannen, spannen dann auch die $\begin{eqnarray*} v_1 , ... , v_k \end{eqnarray*}$ den Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auf?

Ich würde sagen ja, denn weil $\begin{eqnarray*} f(v_1) , ... , f(v_k) \end{eqnarray*}$ den Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ aufspannen, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv, außerdem ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Abbildung auf sich selbst; und zusammen mit der Surjektivität heißt das, dass es eine Inverse zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gibt. Also können wir schreiben:

Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} v = a_1 f(v_1) + ... + a_k f(v_k) = f(a_1 v_1 + ... + a_k v_k) \end{eqnarray*}$ , anwenden der Inversen zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liefert dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(v) = a_1 v_1 + ... + a_k v_k \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} f^{-1}(v) \in V \end{eqnarray*}$ (ist ein beliebiger Vektor in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ) und daher spannen die $\begin{eqnarray*} v_1 , ... , v_k \end{eqnarray*}$ wirklich den Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auf.

Ist das als Begründung so ok? Irgendwie finde ich die Argumentation mit der Inversen ziemlich brachial.

18.11.2024, 13:07

IfindU

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RE: Selbstabbildung und Span von Vektoren
Für endliche Familien von $\begin{eqnarray*} v_1, \ldots, v_k \end{eqnarray*}$ stimmt es. Für unendliche Familien (in einem unendlichen dimensionalen Vektorraum) stimmt es nicht mehr.

Die Begründung passt. Allgemein gilt $\begin{eqnarray*} dim(f(W)) \leq dim(W) \end{eqnarray*}$ für jeden Unterraum $\begin{eqnarray*} W \subset V \end{eqnarray*}$ , womit die Aussage direkt daraus folgt.

18.11.2024, 13:11

KonverDiv

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RE: Selbstabbildung und Span von Vektoren
Vielen Dank für deine Antwort IfindU! Freude

Zitat:

Original von IfindU
Allgemein gilt $\begin{eqnarray*} dim(f(W)) \leq dim(W) \end{eqnarray*}$ für jeden Unterraum $\begin{eqnarray*} W \subset V \end{eqnarray*}$ , womit die Aussage direkt daraus folgt.

Stimmt! Auch ein guter Punkt!

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