Eindeutigkeit und Bestimmung linearer Abbildungen

18.11.2024, 18:06	SIGI3141592	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit und Bestimmung linearer Abbildungen Meine Frage: Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gibt und gib diese an. $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 <br /> <br /> f\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix} <br /> <br /> f\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Bitte Lösung korrigieren und gerne andere Lösungswege aufzeigen. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2 & 0\\1 & 3\end{pmatrix} <br /> <br /> A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\-\frac{1}{6} & \frac{1}{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da A Invers ist und $\begin{eqnarray} \dim_{\mathbb{}}(\mathbb{R}^2) = 2 \end{eqnarray}$ sind die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 \\3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2. \end{eqnarray}$ Es folgt, dass f eindeutig ist, da eine lineare Abbildung durch die Bilder Ihrer Basisvektoren eindeutig bestimmt ist. Sei X eine 2×2 Matrix. $\begin{eqnarray} W = \begin{pmatrix} 0 & 4\\10 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ X • A = W X = W • $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X = \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} & \frac{4}{3}\\ \frac{7}{6} & -\frac{1}{3}\end{pmatrix} \,f(x,y) = \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} & \frac{4}{3}\\ \frac{31}{6} & -\frac{1}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
19.11.2024, 01:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Resultat kann ich bestätigen. Eine alternative Methode ist der Ansatz $\begin{eqnarray} f(x,y) = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun setzt man dort nacheinander die gegebenen Vektoren ein: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Auflösung des durch die Matrixmultiplikation entstehenden linearen Gleichungssystems 2a + b = 0 2c + d = 10 3b = 4 3d = -1 ist - wie man sieht - leicht und liefert dann schnell die Abbildungsmatrix mit $\begin{eqnarray} a = -\frac 2 3; \ b = \frac 4 3; \ c = \frac {31} 6; \ d = -\frac 1 3 \end{eqnarray}$ mY+

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