Grenzwert

21.11.2024, 17:28

Pedrolimes

Grenzwert

Beim Bestimmen des Grenzwertes von folgender Folge hat sich mir eine Frage gestellt:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{\sqrt{n} }{n+1} \end{eqnarray*}$

Rein logisch ist mir klar, dass der Grenzwert für n-->unenedlich gegen Null läuft, da der Nenner schneller wächst als der Zähler.

Wie kann ich dies aber rechnerisch durch Umformungen zeigen (also so, dass man z.B. Nullfolgen erzeugt oder irgendwie erweitert oder ähnliche HIlfsmittel)

Außerdem hab ich noch eine Frage: Jemand hat gesagt, man können den Ausdruck einfach quadrieren und dann können man da auch sehen . Ist das eine erlaubte Operation? Ich hätte nein gesagt, da ich ja dadurch den Wert des Bruchs ändere (ich dachte immer nur Erweitern sei erlaubt)
Oder darf man quadrieren bei der Grenzwertbestimmung, um einen Grenzwert abzulesen?

21.11.2024, 18:12

HAL 9000

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Möglich wäre beispielsweise Abschätzen nach oben durch eine Nullfolge: $\begin{eqnarray*} a_n < \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

Da andererseits auch $\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ klar ist, bleibt nur Null als Grenzwert.

21.11.2024, 19:43

klauss

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RE: Grenzwert
Wenn es sich tatsächlich um Schulbereich handelt, würde ich annehmen, dass man das üblicherweise so machen soll:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} }{n+1} =\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left(\sqrt{n} +\frac{1}{\sqrt{n}}\right) } =\frac{1}{\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n}} } \end{eqnarray*}$

So hat man es zumindest nur noch mit „1 durch“-Brüchen zu tun und nicht mit konkurrierendem Zähler und Nenner.
Daher käme Quadrieren, unabhängig von anderen Aspekten, hier wohl auch nicht in Frage, weil es die Anschauung

Zitat:

da der Nenner schneller wächst als der Zähler.

nur 1 Stufe höher hebt.

23.11.2024, 01:02

Trinker

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Ja aber der Verfasser hat gefragt ob quadrieren eine gültige Option ist

25.11.2024, 10:06

DrummerS

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Die linke Seite wäre ja auch zu quadrieren, so dass dann der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_{n}^{2} \end{eqnarray*}$ statt von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ abgelesen werden könnte. Im obigen Falll wäre dieser gleich. Anders wäre es aber bei zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=2+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

10.04.2026, 17:48

yogibär

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Hey Kumpel:ichwürd malsagen, das ist ganz klar ein Fall für die Krakenhausregel:

sqr ( x ) / ( x + 1 ) ( 1 )

gibt ( °° ) / ( °° )

Beim Ableiten wird der Nenner 1 . Und der Zähler rutscht in den Nenner

1/2 * 1 / sqr ( x ) ===> 0 ( 2 )

10.04.2026, 18:20

adiutor62

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Zitat:

das ist ganz klar ein Fall für die Krakenhausregel:

Oft führen mehrere Weg zum Ziel.

10.04.2026, 22:12

Finn_

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Satz. Sofern $\begin{eqnarray*} a_n^2\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty, \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} a_n\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty. \end{eqnarray*}$

Beweis. Es gelte $\begin{eqnarray*} a_n^2\to 0 \end{eqnarray*}$ als Prämisse, was definitionsgemäß heißt, es existiert für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon'>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |a_n^2|<\varepsilon' \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\ge N. \end{eqnarray*}$ Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ fest, aber beliebig. Wir spezialisieren die Prämisse mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon':=\varepsilon^2. \end{eqnarray*}$ Es besteht also zu einem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\ge N \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_n^2|<\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ . Wir ersetzen darin $\begin{eqnarray*} |a_n^2|=|a_n|^2, \end{eqnarray*}$ das macht $\begin{eqnarray*} |a_n|^2<\varepsilon^2. \end{eqnarray*}$ Insofern die Wurzelfunktion streng monoton steigend* ist, folgt $\begin{eqnarray*} |a_n|<\varepsilon. \end{eqnarray*}$ Wir haben mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ also ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ vorliegen, so dass $\begin{eqnarray*} |a_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\ge N. \end{eqnarray*}$ Definitionsgemäß bedeutet das $\begin{eqnarray*} a_n\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty. \end{eqnarray*}$

*Die strenge Monotonie der Wurzelfunktion bedeutet:
Für alle $\begin{eqnarray*} a,b\ge 0 \end{eqnarray*}$ gilt: aus $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}<\sqrt{b}. \end{eqnarray*}$

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