Berechnung von mindestens k konsekutiven Ereignissen

21.11.2024, 21:10

Xisi

Berechnung von mindestens k konsekutiven Ereignissen

Meine Frage:
Hallo, ich habe online eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von "mindestens k aufeinanderfolgender Ereignisse" gefunden und, nicht sehr Mathe-affin, ist mir tatsächlich nicht bewusst, inwiefern diese Formal eine Wahrscheinlichkeit ausspucken soll.

Die Formel lautet wie folgt
$\begin{eqnarray*} P(N,k)=P(N-1,k)+(1-P(N-k-1,k)) \cdot (1-p)\cdot p^k \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Da der erste Summand direkt die Anzahl der möglichen Permutationen berechnet, ist dies doch bereits keine Wahrscheinlichkeit oder interpretiere ich etwas falsch? Für z.B. N=5, k=2, p=0.3 wie würde ich hier die Wahrscheinlichkeit berechnen?

Es wäre $\begin{eqnarray*} P(4,2)=12 \end{eqnarray*}$ für den ersten Summanden.
Dann beginnt die Rekursion und wir würden $\begin{eqnarray*} (1-P(1,4)) \cdot 0.7 \cdot 0.3^4 = 1 \cdot 0.7 \cdot 0.081 = 0.567 \end{eqnarray*}$ bekommen. Dann bricht die Rekursion ab. Hier habe ich also eine Wahrscheinlichkeit. Aus Gründen mache ich hier also etwas schrecklich falsch. Könnte mir bitte jemand einmal erklären, wie ich mithilfe der Formel die korrekten Wahrscheinlichkeiten berechne?

21.11.2024, 22:01

HAL 9000

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Vielleicht fängt man ja mal damit an, um welches Modell es überhaupt geht, bevor man mit Formeln um sich wirft!

Vermutlich redest du von einem Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} P(N,k) \end{eqnarray*}$ soll dann wohl die Wahrscheinlichkeit sein, dass unter den ersten $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Einzelversuchen es eine Sequenz von mindestens $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aufeinander folgenden Erfolgen gibt.

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Die angegebene Formel ist eine Rekursionsformel, die nur für $\begin{eqnarray*} N>k \end{eqnarray*}$ gilt, und die sich so erklären lässt:

$\begin{eqnarray*} P(N,k) \end{eqnarray*}$ setzt sich zusammen als Summe der Wahrscheinlichkeiten folgender zwei disjunkten Ereignisse:

1) Die Erfolgssequenz tritt bereits unter den ersten $\begin{eqnarray*} N-1 \end{eqnarray*}$ Ereignissen ein, das geschieht mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(N-1,k) \end{eqnarray*}$ .

2) Die erstmalige Erfolgssequenz wird genau mit dem $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ -ten Versuch komplettiert. Das wiederum impliziert, dass die Versuche $\begin{eqnarray*} N-k+1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ alles Erfolge sein müssen, der Versuch $\begin{eqnarray*} N-k \end{eqnarray*}$ kein Erfolg und in den Versuchen 1 bis $\begin{eqnarray*} N-k-1 \end{eqnarray*}$ noch keine solche Sequenz beobachtet wurde. Macht insgesamt $\begin{eqnarray*} (1-p)p^k\cdot (1-P(N-k-1,k)) \end{eqnarray*}$ .

Zur konkreten Berechnung fehlen noch Start- bzw. Randbedingungen:

$\begin{eqnarray*} P(N,k) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} N<k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(k,k) = p^k \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Xisi
Es wäre $\begin{eqnarray*} P(4,2)=12 \end{eqnarray*}$ für den ersten Summanden.

So ein Unfug, 12 ist doch kein möglicher Wahrscheinlichkeitswert!!! Finger1

Die Rekursionsformel (inklusive der genannten Randbedingungen) sagt

$\begin{eqnarray*} P(5,2) = P(4,2) + 0.7\cdot 0.3^2\cdot (1-P(2,2)) = P(4,2) + 0.063\cdot (1-P(2,2)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(2,2) = 0.3^2 = 0.09 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(4,2) = P(3,2) + 0.7\cdot 0.3^2\cdot (1-P(1,2)) = P(3,2) + 0.063 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(3,2) = P(2,2) + 0.7\cdot 0.3^2\cdot (1-P(0,2)) = P(2,2) + 0.063 \end{eqnarray*}$

Rückwärts wieder aufgedröselt gelangt man zu

$\begin{eqnarray*} P(3,2) = 0.153 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(4,2) = 0.216 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(5,2) = 0.27333 \end{eqnarray*}$ .

21.11.2024, 22:19

Xisi

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Großartig, vielen Dank! Und natürlich hast du absolut Recht, dass 12 keine Wahrscheinlichkeit ist. Ich habe angenommen, dass $\begin{eqnarray*} P(N-1,k) \end{eqnarray*}$ für die Anzahl möglicher Permutationen steht, weil ich das (aus Gründen?) so in Erinnerung hatte aus der Schulzeit. Aber jetzt hat sich das alles geklärt.

Nochmals vielen Dank für die klare und schnelle Hilfe!

21.11.2024, 23:04

HAL 9000

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Die Rekursionsgleichung ist eine sogenannte lineare Differenzengleichung, aus der kann man auch eine explizite Formel gewinnen, die allerdings schon etwas länglich aussieht:

$\begin{eqnarray*} P(N,2) = 1 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1+p}{2\sqrt{1+2p-3p^2}} \right) \cdot \left( \frac{1-p + \sqrt{1+2p-3p^2}}{2} \right)^N - \left( \frac{1}{2} - \frac{1+p}{2\sqrt{1+2p-3p^2}} \right) \cdot \left( \frac{1-p - \sqrt{1+2p-3p^2}}{2} \right)^N \end{eqnarray*}$ ,

für $\begin{eqnarray*} p=0.3 \end{eqnarray*}$ bedeutet das (gerundet) $\begin{eqnarray*} P(N,2) = 1 - 1.0636\cdot 0.92663^N + 0.0636\cdot (-0.22663)^N \end{eqnarray*}$ .

22.11.2024, 11:32

HAL 9000

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Eine etwas veränderte Herangehensweise:

Anstelle von $\begin{eqnarray*} P(N,k) \end{eqnarray*}$ betrachte man $\begin{eqnarray*} Q(N,k) = 1-P(N,k) \end{eqnarray*}$ , das ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den ersten $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Einzelversuchen keine Erfolgssequenz der Mindestlänge $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt. Die obige Rekursionsformel lautet dann

$\begin{eqnarray*} Q(N,k) = Q(N-1,k) - (1-p)p^k\cdot Q(N-k-1,k),\mbox{ gültig für }N>k\qquad (1) \end{eqnarray*}$ ,

das ist eine homogene lineare Differenzengleichung der Ordnung $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ . Ähnlich wie oben kann man aber auch die Gültigkeit der ebenfalls homogenen linearen Differenzengleichung

$\begin{eqnarray*} Q(N,k) = \sum_{j=1}^k (1-p)p^{j-1}\cdot Q(N-j,k),\mbox{ gültig für }N\geq k\qquad (2) \end{eqnarray*}$

begründen. Die sieht auf den ersten Blick komplizierter aus als (1), hat aber nur Ordnung $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und kommt deswegen bereits mit den $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Anfangswerten $\begin{eqnarray*} Q(N,k)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} N=0,1,\ldots,k-1 \end{eqnarray*}$ aus.

Im Fall $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ lautet (2) dann übrigens $\begin{eqnarray*} Q(N,2) = (1-p)\cdot Q(N-1,2) + (1-p)p\cdot Q(N-2,2) \end{eqnarray*}$ , und führt via Lösungstheorie der linearen Differenzengleichung dann zu eben jener expliziten Darstellung, die ich oben schon genannt hatte.

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