Poisson Verteilung Lambda ermitteln

22.11.2024, 16:00

SoT

Poisson Verteilung Lambda ermitteln

Meine Frage:
Hallo,

ich habe bei der Poisson-Verteilung einen totalen Denkfehler, glaube ich.
Vielleicht kann mir jemand helfen.

Folgende Aufgabe habe ich:
In einer Firma tritt am Montag im Zeitraum von 9 bis 10 Uhr ein fehler-relevantes Ergebnis durchschnittlich 5,604 mal pro Stunde auf. Die Fehlerbehebung dauert im Durchschnitt 142 sek.
Wie wahrscheinlich ist es, dass k=1,...,n Personen ausreichend für die Fehlerbehebung sind.

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass ich das für jedes k einzelnen ausrechnen muss und auch ist mir klar, dass ich hier mit der Poisson-Verteilung arbeiten muss. Die Poisson-Werte für den jeweiligen k-Wert (hier entsprechend der Mitarbeiter) rechne ich einzelnen aus und addiere dann entsprechend.
Problem ist bei mir im Kopf die Umrechnung um ? zu erhalten.
Ich habe mir gedacht, man nimmt 52 Montage im Jahr an, zu 60 Min bzw. 3600 sek.
Im Jahr sollten das dann 52?60?60 Sekunden sein, also 187.200 sek.
Jetzt komme ich mit meinem ? aber nicht weiter.
Mein Ansatz war, dass ich 187.200/142=1318.31 rechne und damit sozusagen die "Anzahl der Blöcke" erhalte, die es zu 142 Sek gibt.
lambda=(Anzahl der durchschnittlichen Ergebnisse)/Blöcke
?=5,6041318,31=0,00425 und dann in die PossionVerteilungs-Formel einsetzen.
\lambda^{k}/k!* e^{-x}

Im Ergebnis soll für k=1 hier 0,9902 herauskommen und k=2 soll 0,9998 sein.
ich bekomme es aber nicht raus und bin mir sehr sicher, hier einen Fehler zu haben, den ich nicht finde.
Ich freue mich auf Hilfe.

Danke

22.11.2024, 16:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von SoT
Wie wahrscheinlich ist es, dass k=1,...,n Personen ausreichend für die Fehlerbehebung sind.

Zunächst mal sollte geklärt werden, was dieses "ausreichend" überhaupt bedeuten soll:

In den meisten Fällen, wo mir diese Frage begegnet ist, ist sie so gemeint, dass für einen neuen Fehlerfall die Wahrscheinlichkeit gesucht ist, dass zu diesem Zeitpunkt aktuell weniger als $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Fehlerbehebungen stattfinden, d.h., die Fehlerbehebung des neuen Falls sofort gestartet werden kann, weil dann mindestens ein Servicemitarbeiter noch frei ist. (*)

Es bedeutet also nicht, dass über den ganzen Zeitraum der einen Stunde, oder gar (wie du da geschrieben hast) über Wochen oder Monate stets die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Serviceleute ausreichen, also in diesem Zeitraum niemals jemand warten muss - eine solche strenge Forderung ist (bei der Datenlage hier) nur mit einer verschwindend geringen Wahrscheinlichkeit erfüllbar. unglücklich

Ich behandle daher im folgenden nur Fragestellung (*):

Rechnet man mit einer festen Servicezeit von 142 Sekunden, dann bedeutet das hier zu betrachtende Ereignis, dass in den 142 Sekunden vor dem neuen Servicefall maximal $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ andere Servicefälle eintreten dürfen. Bei der hier gegebenen Poissonprozess-Intensität $\begin{eqnarray*} \lambda = 5.604~h^{-1} = \frac{5.604}{3600} ~ s^{-1} \end{eqnarray*}$ und Intervalldauer $\begin{eqnarray*} t=142~s \end{eqnarray*}$ ist diese Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \mu = \lambda t \approx 0.221047 \end{eqnarray*}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Servicemitarbeiter ausreichend sind, ist gemäß dieser Überlegung dann

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k-1) = e^{-\mu}\cdot \sum_{j=0}^{k-1} \frac{\mu^j}{j!} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} k=1,2,3 \end{eqnarray*}$ ergibt das die Werte $\begin{eqnarray*} 0.8017, 0.9789, 0.9985 \end{eqnarray*}$ , also völlig andere Werte als in der dir vorliegenden (vermeintlichen?) Lösung.

22.11.2024, 17:06

SoT

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Poisson
Hallo und erstmal herzlichen Dank.
Die "Falllösung" ist so, wie es gemeint war. Wenn das immer im Jahr sein soll, wird die Wahrscheinlichkeit vermutlich gefühlt fast gegen 0 gehen, also da mein erster Fehler, wobei ich die Aufgabe schon zig mal gerechnet habe, auch mit dem Lambda von 0,22107 und irgendwann habe ich dann gedacht "hier läuft was schief", da kam dann von mir die Idee mit der Jahreshäufigkeit, aber es ist für mich schon mehr als sinnvoll, was in den hier angebrachten Lösungsideen geschrieben wird.

Auf die Lösungen, die hier stehen, bin ich in einem meiner Versuche auch gekommen, bzw. auf ein Lambda von 0,22107 und dann habe ich nur k=1 ausgerechnet. Das habe ich dann aber wieder als "falsch" abgetan, da ich bei den Lösungen davon ausgegangen bin, dass sie richtig sind.

In den Musterlösungen sind aber eben genau die Werte von 0.9902 usw. herausgekommen, was mir persönlich ein Rätsel bleibt, wie man bei diesen Werten darauf kommt. Aber ich kann mir auch nicht erklären, dass die Werte mit einer anderen Formel berechnet wurden. Mir ist bei Poisson nichts anders bekannt, da es sich um eine risikoabhängige Bemessung handeln soll.

Ich habe das gleiche Spiel in den Aufgaben auch für eine mittlere Auftrittswahrscheinlichkeit von 31,520 bei einem t=142 und soll laut Lösung für
k=1 41,93
k=2 91,99
k=3 98,83
k=4 99,85
kommen. Ich komme aber wiederholt nicht auf diese Ergebnisse.
Lassen sich die Ergebnisse aus der Musterlösung irgendwie anders erklären?

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