Kontraktionseigenschaft Fixpunktiteration DAE |
| 26.11.2024, 19:09 | kabbisch | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kontraktionseigenschaft Fixpunktiteration DAE Hallo zusammen, ich sitze gerade am Thema Numerik von differentiell algebraischen Gleichungen (DAE) vom differentiellen Index 1, speziell mit dem Buch von Rolf Rannacher "Numerik 1". Dort geht es darum unter welchen Bedingungen der algebraische Teil eines DAE-Systems mit einer einfachen Fixpunktiteration lösbar ist. Ich habe die Stelle die mir Probleme macht mal im angehängten Bild angefügt (das Buch ist unter Creative Commons Lizens für jeden einsehbar). Ich stelle mir die Frage warum die Steifheit des algebraischen Teils hier ausgerechnet mit der Norm der Inversen der Jacobi-Matrix zusammenhängt. Meine Ideen: Mir ist klar, dass man mit dem Schrankensatz zeigen kann dass die Kontraktionskonstante für die Fixpunktiteration, als betragsmäßiges Maximum über die Werte Jacobimatrix auf einem konvexen und offenen Definitionsbereich angenommen werden kann. Mir ist also denke ich auch klar wo die Vorraussetzung ||I - C'_y||<1 herkommt. Auch verstehe ich den Zusammenhang zum Polygonzugverfahren. Auch das Beispielsweise für eine "große" Jacobimatrix hier eine sehr kleine Schrittweite gewählt werden muss. Ähnlich wie bei einer normalen steifen DGL mit explizitem Euler etc. Aber was hat die Vorraussetzung für die Kontraktionseigenschaft gerade mit der Norm der Inversen (!) der Jacobimatrix zu tun? Wäre für jede Hilfe sehr dankbar! Vielen Dank schonmal im Voraus. PS: Für den 'steifen' Fall in der algebraischen Gleichung wird das Newtonverfahren angewandt. |
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