Vereinfachung der Formel zur Standardabweichung

27.11.2024, 14:33

Snu17

Vereinfachung der Formel zur Standardabweichung

Meine Frage:
Bei der Behandlung der statistischen und stochastischen Standardabweichung im Unterricht habe ich mich selbst gefragt, wieso diese nicht in vereinfachter Form dargestellt wird. Nach eigenem Umformen als Beweis der neuen Formel, ist mir aufgefallen, dass die neue Formel zum einen einfacher anzuwenden ist und auch leichter zu berechnen ist. Auch bei einer eingehenden Internetrecherche habe ich nirgendwo eine Erwähnung dieser Formel gefunden. Ist vorher noch nie jemand auf die Idee gekommen, die Formel zu vereinfachen?

Meine Ideen:
Habt ihr diese Formel schon einmal irgendwo gesehen oder ist diese in dieser Form so neu?

27.11.2024, 15:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Drei Anmerkungen:

1) Für die empirische Standardabweichung $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ nimmt man wegen der Erwartungstreue der zugehörigen empirischen Varianz $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ besser die Formel

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n \left(x_k-\bar{x}\right)^2} = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \left( \left( \sum_{k=1}^n x_k^2\right)^2 - n\cdot \bar{x}^2\right)} \end{eqnarray*}$ .

Gerade für relativ kleine Stichprobengrößen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist der Unterschied zu der verzerrten Varianz

$\begin{eqnarray*} \tilde{s}^2 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(x_k-\bar{x}\right)^2 = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n x_k^2\right)^2 - \bar{x}^2 \end{eqnarray*}$

schon bedeutsam.

2) Ja, die Formel hat man "irgendwo" schon mal gesehen - konkret wird sie in allen einfach gestrickten TR mit Statistikfunktion verwendet:

Diese TR sind nämlich gar nicht in der Lage (weil nicht dafür konzipiert), die komplette Stichprobe im Speicher zu halten - sie aktualisieren jedesmal nur die drei Speicherzellen

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Sigma_1 = \sum_{k=1}^n x_k \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \Sigma_2 = \sum_{k=1}^n x_k^2 \end{eqnarray*}$ .

und verwenden dann diese einfachere Formel. Kommt ein neuer Wert $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ hinzu, dann wird intern gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \Sigma_1 := \Sigma_1 + x_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Sigma_2 := \Sigma_2 + x_{n+1}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n := n+1 \end{eqnarray*}$

Es besteht daher keine Notwendigkeit, die Werte $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,\ldots \end{eqnarray*}$ einzeln abzuspeichern

3) Diese Formel hat aber nicht nur Vorteile: Für Werte, wo die Standardabweichung um mehrere Größenordnungen kleiner ist als der Mittelwert bekommt man mit dieser Formel böse numerische Auslöschungseffekte:

Nimm einfach mal deinen TR und betrachte die Stichprobe bestehend aus zwei Werten

$\begin{eqnarray*} x_1 = 1000000.001 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = 999999.999 \end{eqnarray*}$

Mittelwert ist $\begin{eqnarray*} \bar{x} = 1000000 \end{eqnarray*}$ und empirische Standardabweichung

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{ \frac{1}{2-1} \sum_{k=1}^2 0.001^2} \approx 0.001414 \end{eqnarray*}$

Mit der alternativen Formel und double-Genauigkeit (64 Bit Floatingpoint) - z.B. in Excel gerechnet - bekommt man stattdessen $\begin{eqnarray*} s\stackrel{???}{=} 0 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet...

Zitat:

Original von Snu17
Auch bei einer eingehenden Internetrecherche habe ich nirgendwo eine Erwähnung dieser Formel gefunden.

So eingehend scheint das nicht gewesen zu sein, wenn selbst ein kurzer Blick in den naheliegenden Wikipedia-Artikel diese Aussage Lügen straft:

https://de.wikipedia.org/wiki/Empirische...rschiebungssatz

Neue Frage »

Antworten »

Vereinfachung der Formel zur Standardabweichung

Verwandte Themen