Elementarbeweis -(-v) = v

27.11.2024, 20:56	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Elementarbeweis -(-v) = v Hallo, ich habe eine Frage zum Beweis von $\begin{eqnarray} -(-v) = v \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ und es sich bei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ um einen $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ -Vektorraum handelt. Eine mögliche Argumentation wäre $\begin{eqnarray} 0 = (-v) + v \end{eqnarray}$ und nach dem Axiom des inverses Elements eines $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ -Vektorraumes heißt das, dass $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ das additive Inverse von $\begin{eqnarray} -v \end{eqnarray}$ ist, also nach Definition $\begin{eqnarray} v := -(-v) \end{eqnarray}$ . Ist an dieser Argumentation etwas nicht in Ordnung? Oder kann man hier wirklich über das inverse Element genau so argumentieren? Es fällt mir auch noch ein anderer Beweis ein, der aber länger wäre: $\begin{eqnarray} -(-v) = -(-v) + 0 = -(-v) + (v + (-v)) = v + (-(-v) + (-v)) = v + 0 = v \end{eqnarray}$ . Ich würde den ersten Beweis vorziehen, weil dieser kürzer ist, aber ist das auch wirklich korrekt argumentiert?
27.11.2024, 21:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Beweis ist korrekt. Er benutzt allerdings nicht die "Definition" v:=-(-v), sondern die Eindeutigkeit des inversen Elements. Der zweite Beweis ist auch gut, vielleicht sogar besser, weil er diese Eindeutigkeit nicht braucht.
28.11.2024, 09:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@KonverDiv Ich würde die zweite Variante eher so aufschreiben: $\begin{eqnarray} -(-v) = 0 + (-(-v)) = (v + (-v)) + (-(-v)) \stackrel{()}{=} v + ((-v) + (-(-v))) = v + 0 = v \end{eqnarray}$ Der Unterschied zu deiner Variante ist, dass man keine Summandenumstellung (Kommutativität) benötigt, sondern allein mit der assoziativen Neuklammerung () auskommt. Nicht, dass die Kommutativität hier ein Problem wäre - aber vermeidbare Schritte vermeidet man eben besser.
28.11.2024, 11:04	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @Elvis, danke für deine Antwort, ich hatte mich schon drauf gefreut, mal wieder etwas von dir zu hören! Das mit der Eindeutigkeit war der entscheidende Punkt! Hallo @HAL 9000, danke auch für deine Antwort und die passende Optimierung des Beweises!
28.11.2024, 15:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Witz dabei ist, dass wir nun sogar bewiesen haben, dass in jedem Monoid (=Halbgruppe (=assoziative Struktur) mit neutralem Element) gilt -(-v)=v. Also gilt das in jeder Gruppe und erst recht in jedem Vektorraum.
30.11.2024, 14:02	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @Elvis, ja das stimmt, eigentlich haben wir im Beweis nichts benutzt, was nicht auch in einer Gruppe bzw. in diesem Fall in einer Halbgruppe gilt.
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02.12.2024, 10:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Fall, wenn man nicht auf die allgemeinste Version besteht, kann man es auch kürzer machen, indem man das Distributivgesetz nutzt. Wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray} -v = (-1)\cdot v \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} -1 \in K \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} -(-v) = (-1)^2 v = v \end{eqnarray}$ . Dabei folgt $\begin{eqnarray} -v = (-1) v \end{eqnarray}$ direkt aus $\begin{eqnarray} v + (-1)v = (1 + (-1))v = 0v = 0 \end{eqnarray}$ und damiit ist $\begin{eqnarray} (-1)v \end{eqnarray}$ das eindeutige additive Inverse zu $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Ähnlich folgt $\begin{eqnarray} (-1)^2 = 1 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} (-1)^2 + (-1) = (-1)( -1 + 1) = (-1)\cdot 0 \end{eqnarray}$ womit $\begin{eqnarray} (-1)^2 \end{eqnarray}$ das additive Inverse zu $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray} (-1)^2 = 1 \end{eqnarray}$ .

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