Konvergenz mehrdimensionale Multinomialverteilung

28.11.2024, 22:59	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz mehrdimensionale Multinomialverteilung Meine Frage: Es geht hier eigentlich um den Beweis des asymptotischen Resultats des Condorcet-Jury-Theorems mit n Wahlalternativen. Ich formuliere es hier als Urnenmodell: Aus einer Urne mit k Kugeln wird n mal gezogen. Der Vektor $\begin{eqnarray} (p_1, ..., p_k) \end{eqnarray}$ beschreibt an der i-ten Stelle die Wahrscheinlichkeit, dass Kugel i gezogen wird. Der Vektor $\begin{eqnarray} X_n=(X_1, ..., X_k) \end{eqnarray}$ ist der Zufallsvektor bzgl. n Ziehungen, der in der i-ten Komponente eine Zufallsvariable hat, die beschreibt, wie häufig Kugel i gezogen wird. Für alle n aus $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ multinomialverteilt. Nun muss ich zunächst zeigen, dass für n gegen unendlich $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ normalverteilt ist. Meine Ideen: Ich wollte hierzu die mehrdimensionale Form des Lindeberg-Feller Satzes anwenden. Nur sehe ich die Schwierigkeit, dass die einzelnen Komponenten der Vektoren $\begin{eqnarray} X_n=(X_1, ..., X_k) \end{eqnarray}$ nicht unabhängig sind wie es bei einer Dreiecks-Anordnung von Zufallsvariablen der Fall ist. Gibt es die Möglichkeit diese Bedingung irgendwie zu ersetzen?
28.11.2024, 23:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Behauptung ist falsch: Die Komponenten $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ mögen asymptotisch normalverteilt sein, selbst der Vektor $\begin{eqnarray} \left(X_1,\ldots,X_{k-1}\right) \end{eqnarray}$ ist asymptotisch normalverteilt (mit passender Kovarianzmatrix) - aber $\begin{eqnarray} \left(X_1,\ldots,X_{k-1},X_k\right) \end{eqnarray}$ ist es wegen der strengen Kopplung $\begin{eqnarray} X_1+\ldots+X_k=n \end{eqnarray}$ sicher nicht. P.S.: Du hättest erwähnen sollen, dass es um Ziehen mit Zurücklegen geht.
28.11.2024, 23:44	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, es soll gelten, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{n} \left( \begin{bmatrix} \frac{X_1}{n} \\ \frac{X_2}{n} \\ \vdots \\ \frac{X_k}{n} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \mathbb{E}\left[\frac{X_1}{n}\right] \\ \mathbb{E}\left[\frac{X_2}{n}\right] \\ \vdots \\ \mathbb{E}\left[\frac{X_k}{n}\right] \end{bmatrix} \right) \end{eqnarray}$ gegen eine Normalverteilung läuft.
29.11.2024, 07:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Transformation zu $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist nicht das Problem. Ich will mal versuchen, das eigentliche Problem verständlich zu machen: Betrachten wir die transformierten $\begin{eqnarray} Y_i=\frac{X_i-E\left(X_i\right)}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} X_i\sim B\left(n,p_i\right) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} E\left(X_i\right) = np_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V\left(X_i\right) = np_i\left(1-p_i\right) \end{eqnarray}$ , für die skalierten Größen bedeutet das $\begin{eqnarray} E\left(Y_i\right) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V\left(Y_i\right) = p_i\left(1-p_i\right) \end{eqnarray}$ . Für die Kovarianzen nutzen wir, dass $\begin{eqnarray} X_i+X_j\sim B\left(n,p_i+p_j\right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ gilt, damit bekommt man $\begin{eqnarray} V\left(X_i+X_j\right) = n\left(p_i+p_j\right)\left(1-p_i-p_j\right) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} V\left(Y_i+Y_j\right) = \left(p_i+p_j\right)\left(1-p_i-p_j\right) \end{eqnarray}$ . Via $\begin{eqnarray} V\left(Y_i+Y_j\right) = V\left(Y_i\right) + V\left(Y_j\right) + 2C\left(Y_i,Y_j\right) \end{eqnarray}$ folgt durch Einsetzen und Umstellen $\begin{eqnarray} C\left(Y_i,Y_j\right) = - p_ip_j \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ bekommt dann genau diese (ja bereits von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unabhängigen) Varianz- bzw. Kovarianzwerte. Es ist aber festzustellen, dass die Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -dimensionalen Zufallsvektors $\begin{eqnarray} Y = (Y_1,\ldots,Y_k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Sigma = \begin{pmatrix} p_1\left(1-p_1\right) & -p_1p_2 & -p_1p_3 & \ldots & -p_1p_{k-1} & -p_1p_k\\ -p_2p_1 & p_2\left(1-p_2\right) & -p_2p_3 & \ldots & -p_2p_{k-1} & -p_2p_k\\ -p_3p_1 & -p_3p_2 & p_3\left(1-p_3\right) & \ldots & -p_3p_{k-1} & -p_3p_k\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\-p_{k-1}p_1 & -p_{k-1}p_2 & -p_{k-1}p_3 & \ldots & p_{k-1}\left(1-p_{k-1}\right) & -p_{k-1}p_k\\ -p_kp_1 & -p_kp_2 & -p_kp_3 & \ldots & -p_kp_{k-1} & p_k\left(1-p_k\right)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ singulär (!!!) ist, was für die multidimensionale Normalverteilung nicht zulässig ist! Nimm eine oder mehrere Komponenten weg, dann ist es Ok - aber alle $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Komponenten im Vektor zu belassen führt nicht zu einer korrekten Normalverteilung. P.S.: Der Grund dafür ist, dass die $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -dimensionale Normalverteilung eine stetige Verteilung im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^k \end{eqnarray}$ ist, das bedeutet insbesondere, dass das zugehörige Verteilungsmaß absolutstetig bzgl. des $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -dimensionalen Lebesguemaßes sein muss. Das ist für dein $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ aber nicht der Fall: Wegen der Kopplungsbedingung $\begin{eqnarray} Y_1+\ldots+Y_k=0 \end{eqnarray}$ liegen alle Werte des Zufallsvektors $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ in der $\begin{eqnarray} (k-1) \end{eqnarray}$ -dimensionalen Hyperebene $\begin{eqnarray} E = \left\{ (y_1,\ldots,y_k)\in \mathbb{R}^k \mid y_1+\ldots+y_k=0\right\} \end{eqnarray}$ , welche Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray} \lambda^{(k)}(E)=0 \end{eqnarray}$ , aber Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray} P_Y(E)=1 \end{eqnarray}$ hat - Widerspruch zur Absolutstetigkeit, damit hat $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ auch keine $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -dimensionale Dichte $\begin{eqnarray} f_Y \end{eqnarray}$ , wie es für die $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -dimensionale Normalverteilung aber nötig wäre. EDIT: Hmm, ich sehe gerade in https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimens...rmalverteilung, dass dieser Fall als "Singulärer Fall" bezeichnet wird und doch als "mehrdimensionale Normalverteilung" zugelassen wird. Dann hat sich die Sprachregelung vielleicht doch geändert, seit ich das vor Jahrzehnten kennengelernt habe - ich kenne es wie gesagt so, dass man nur im regulären Fall (mit existenter Dichte) auch tatsächlich von einem normalverteilten Vektor spricht.
29.11.2024, 11:21	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Edit: Danke für den Hinweis, hat mich auch gewundert, da ich eine Beweisskizze habe die es ebenfalls so sagt. Dennoch bleibt nun meine Frage: Die einzelnen Komponenten in den Folgegliedern sind nicht unabhängig voneinander. Es sieht so aus für mich als könnte ich Sätze wie den mehrdimensionalen Lindeberg-Feller nicht anwenden dadurch. Wie kann ich das Problem lösen?
29.11.2024, 11:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich weiß nicht wo du da ein Problem siehst: Dein multinomialverteilter Vektor $\begin{eqnarray} X^{(n)} = \left(X_1^{(n)},\ldots,X_k^{(n)}\right)\sim M\left(n,\left\{p_1,\ldots,p_k\right\}\right) \end{eqnarray}$ entsteht doch als Summe $\begin{eqnarray} X^{(n)} = B^{(1)} + \ldots + B^{(n)} \end{eqnarray}$ von i.i.d. Zufallsvektoren $\begin{eqnarray} B^{(i)}\sim M\left(1,\left\{p_1,\ldots,p_k\right\}\right) \end{eqnarray}$ , da kannst du doch direkt den multidimensionalen ZGWS https://en.wikipedia.org/wiki/Central_li...dimensional_CLT in seiner einfachsten Form anwenden - die Komponenten müssen hierbei nicht unabhängig sein, sondern lediglich die gesamten Summanden-Vektoren $\begin{eqnarray} B^{(i)} \end{eqnarray}$ untereinander.
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04.12.2024, 15:08	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachfrage: Unten ist der Rest der Beweisskizze zu sehen. Ich verstehe allerdings nicht, wie ich auf die Menge $\begin{eqnarray} W_{i} \end{eqnarray}$ komme. Mir ist intuitiv klar, warum die Bedingung $\begin{eqnarray} t_{i}+p_{i} > t_{j}-p_{j} \end{eqnarray}$ gelten muss, da ich über die Dichtefunktion der ZV $\begin{eqnarray} \vec{X^{}}-\vec{p} \end{eqnarray}$ verfüge. Mir fehlt aber ein Verständnis darüber, warum ich alle Vektoren $\begin{eqnarray} (t_1, ..., t_k) \end{eqnarray*}$ , die diese Bedingung erfüllen, verwenden muss. Wie komme ich auf diese Menge?
04.12.2024, 15:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X^-p \end{eqnarray}$ ist zentriert (d.h. mit Erwartungswert 0) normalverteilt, aber nicht $\begin{eqnarray} X^* \end{eqnarray}$ . Das ist bei der Integrationsmenge $\begin{eqnarray} W_i \end{eqnarray}$ natürlich zu verücksichtigen: $\begin{eqnarray} t_i \end{eqnarray}$ steht für die Werte, die $\begin{eqnarray} X_i^-p_i \end{eqnarray}$ annehmen kann, insofern bedeutet $\begin{eqnarray} X_i^ > X_j^* \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} t_i+p_i > t_j+p_j \end{eqnarray}$ . Es geht hier um die Wahrscheinlichkeit, dass bei festem $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ diese Bedingung $\begin{eqnarray} X_i^* > X_j^* \end{eqnarray}$ für alle anderen $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ erfüllt sein soll, daher muss man die Dichte (?!) $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ über die entsprechende Menge der $\begin{eqnarray} \left(t_1,\ldots,t_k\right) \end{eqnarray}$ integrieren. Warum schreibe ich "Dichte (?!)" ? Weil ich nicht weiß, was die damit meinen - denn im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^k \end{eqnarray*}$ gibt es diese Dichte ja gar nicht (siehe meine obige Anmerkung)!

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