Primfaktorisierung

29.11.2024, 22:02

voessli

Primfaktorisierung

An die Prim-Fans,

ich habe aus Neugier die Primzahlen ab 3 faktorisiert d.h. aufmultipliziert und die Ergebnisse mit Primzahlen in der Umgebung abgeglichen. Auffällig ist der Abstand -2 und +2, bei dem ebenfalls eine Primzahl zu finden ist.

Hier die Ergebnisse:

15 5 -+ 2
105 7 -+ 2
1155 11 - 2
15015 13 -+ 2
255255 17 - 2
4849845 19 - 2
111546435 23 - 2
3234846615 29 + 2
100280245065 31 -+ 2
3710369067405 37 + 2
152125131763605 41 - 2
6541380665835015 43 ... Große Primlücke
307444891294245705 47 -+ 2
16294579238595022365 53 - 2
961380175077106319535 59 + 2
58644190679703485491635 61 +4
3929160775540133527939545 67 ... Große Primlücke
278970415063349480483707695 71 - 2
20364840299624512075310661735 73 +4
1608822383670336453949542277065 79 .. Große Primlücke
133532257844637925677812008996395 83 .. Große Primlücke
11884370948172775385325268800679155 89 .. Große Primlücke
1152783981972759212376551073665878035 97 .. Große Primlücke
116431182179248680450031658440253681535 101 -4
11992411764462614086353260819346129198105 103 - 2
1283188058797499707239798907670035824197235 107 .. Große Primlücke

29.11.2024, 22:38

HAL 9000

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Warum multiplizierst du nicht auch noch vorn die erste Primzahl 2 mit ran - dann hast du sogar sehr oft im Abstand +1 oder -1 eine Primzahl. smile

Diese "erhöhte Primzahlwahrscheinlichkeit" ist kein Zufall: Denn die Kandidaten $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n p_k \pm 1 \end{eqnarray*}$ sind ja schon mal durch keine der Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,\ldots,p_n \end{eqnarray*}$ teilbar, d.h. allenfalls durch größere Primzahlen teilbar.

P.S.: Dieses Konstrukt spielt ja nicht von ungefähr eine bedeutende Rolle in Euklids Beweis der Unendlichkeit der Primzahlmenge.

30.11.2024, 00:00

voessli

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Hut ab, aber die Anfangsfolge mit 2 ist noch weniger zielführend.
Aber es könnte vlt. jemand*in überprüfen, ob diese Übereinstimmung stochastisch auffällig ist: Also ob 11 zufällige ungerade Zahlen von 15 - 152125131763605 jeweils eine Primzahl -+2 ergeben (insgesamt 15).
Dei "Primzahlwahrscheinlichkeit" könnte mit Erhöhung des Anfangswertes zunehmen, guter Hinweis.

30.11.2024, 10:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von voessli
aber die Anfangsfolge mit 2 ist noch weniger zielführend.

Inwiefern?

2 * 3 = 6 ergibt +-1 Primzahlen 5,7
2 * 3 * 5 = 30 : +-1
2 * 3 * 5 * 7 = 210 : +1
2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310 : +-1
2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 30030 : -1

Ist doch so schlecht nicht. Weil vielleicht temporär deine Variante ohne 2 die Nase vorn hat, ergibt sich langfristig m.E. kein Vorteil.

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Sei $\begin{eqnarray*} (p_n) \end{eqnarray*}$ die Primzahlfolge, d.h. $\begin{eqnarray*} p_1=2,p_2=3,p_3=5,\ldots \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt für die Zahlen $\begin{eqnarray*} a_n = \prod_{k=1}^n p_k \end{eqnarray*}$ meiner Konstruktion:

Alle Zahlen $\begin{eqnarray*} a_n+d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2\leq d\leq p_{n+1}-1 \end{eqnarray*}$ sind keine Primzahlen, das trifft zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ auch auf $\begin{eqnarray*} a_n-d \end{eqnarray*}$ zu.

Das bedeutet: Rechts von $\begin{eqnarray*} a_n+1 \end{eqnarray*}$ bzw. links von $\begin{eqnarray*} a_n-1 \end{eqnarray*}$ befindet sich mit Sicherheit eine große Primzahllücke der Mindestlänge $\begin{eqnarray*} p_{n+1}-2 \end{eqnarray*}$

Für die Zahlen $\begin{eqnarray*} b_n = \prod_{k=2}^n p_k \end{eqnarray*}$ deiner Konstruktion stimmt für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ eine ähnliche, aber abgeschwächte Aussage:

Zahlen $\begin{eqnarray*} b_n\pm d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2\leq d\leq p_{n+1}-1 \end{eqnarray*}$ können allenfalls dann Primzahl sein, wenn $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eine Zweierpotenz ist.

Das wiederum bedeutet (im Vergleich zu oben): Rechts von $\begin{eqnarray*} b_n+1 \end{eqnarray*}$ bzw. links von $\begin{eqnarray*} b_n-1 \end{eqnarray*}$ befindet sich meistens eine Primzahllücke Mindestlänge $\begin{eqnarray*} p_{n+1}-2 \end{eqnarray*}$ , in seltenen Fällen ist sie wg. der Zweierpotenz-Aussage aber auch deutlich kürzer.

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