Wahrheit oder Lüge?

01.12.2024, 14:16	Huldrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrheit oder Lüge? Ich möchte folgendes Problem lösen: Jemand erzählt eine Geschichte mit k Aussagen, wovon j verifiziert richtig sind. Man weiss, dass der Erzähler entweder immer die Wahrheit sagt (Person A) oder ein notorischer Lügner ist (Person B). Es gibt nur diese zwei Möglichkeiten. Also haben wir P(A)+P(B)=1 und folglich P(A)=1-P(B). Die Wahrscheinlichkeit, dass B zufällig eine richtige Aussage macht ist p. Von mir aus gesehen haben wir: P(es ist B) =P(es ist B unter der Kenntnis, dass seine j Aussagen richtig sind und die anderen Aussagen entweder richtig oder falsch sein können) =P(es ist B unter der Kenntnis, dass seine j Aussagen richtig sind) P(es ist B unter der Kenntnis, dass die anderen Aussagen entweder richtig oder falsch sein können) P(es ist B unter der Kenntnis, dass seine j Aussagen richtig sind) = $\begin{eqnarray} C_j^k p^j \end{eqnarray}$ P(es ist B unter der Kenntnis, dass die anderen Aussagen entweder richtig oder falsch sein können) = $\begin{eqnarray} (p+q)^{k-j}=1 \end{eqnarray}$ Damit wäre P(es ist A) = $\begin{eqnarray} 1-C_j^k p^j \end{eqnarray}$ Mir scheint aber, dass wenn j=0 P(es ist A) = 1/2 sein sollte, weil die Wahrscheinlich, ob es A oder B ist, dann gleich gross ist. Obige Formel ergibt aber 0. Ausserdem wird sie mit k=12 und j=1 negativ, was ja schlecht möglich ist. Was ist falsch an dieser Formel?
01.12.2024, 14:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
M.E. spielt es überhaupt keine Rolle, wie groß $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist, wenn wir von den $\begin{eqnarray} k-j \end{eqnarray}$ Geschichten nicht wissen, ob sie wahr oder falsch sind. Sei $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ das Ereignis, dass die $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ überprüften Geschichten alle wahr sind. Dann gilt $\begin{eqnarray} P(C\mid A) = 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} P(C\mid B) = p^j \end{eqnarray}$ . Du willst jetzt vermutlich $\begin{eqnarray} P(B\mid C) \end{eqnarray}$ bestimmen? Geht nur, wenn wir von einer a-priori-Verteilung ausgehen (also Annahme VOR der Geschichtenerzählung), i.d.R. wäre das $\begin{eqnarray} P(A)=P(B)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ (muss aber nicht sein - vielleicht sind wir voreingenommen/misstrauisch gegenüber solchen Geschichtenerzählern und gehen eher von $\begin{eqnarray} P(A)=0.01,P(B)=0.99 \end{eqnarray}$ aus... ) . Gemäß Bayes gilt $\begin{eqnarray} P(C)=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}p^j \end{eqnarray}$ sowie damit dann $\begin{eqnarray} P(A\mid C) = \frac{1}{1+p^j} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} P(B\mid C) = \frac{p^j}{1+p^j} \end{eqnarray}$ . P.S.: Du verwendest in deinen Ausführungen einen Wert $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ohne zu erklären, wofür der steht.
01.12.2024, 15:38	Huldrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Also k spielt schon eine Rolle, weil wir wissen wollen, ob wir seiner Geschichte trauen können. Ein Polizist z.B., der einen Kriminalfall aufklärt, möchte wissen, ob die Aussagen eines Zeugen vertrauenswürdig sind. Er versucht deshalb seine Glaubwürdigkeit einzuschätzen und kontrolliert deshalb so viele Aussagen wie möglich. Wenn diese Anzahl hoch ist, nimmt er auch die anderen Aussagen ernst. Also ist das Verhältnis j/k wichtig. Bei einem konstanten j nimmt die Vertrauenswürdigkeit ab umso grösser k ist, weil die Wahrscheinlichkeit zunimmt, dass die j richtigen Aussagen nur per Zufall richtig sind. Wenn ich jemandem 10 Fragen stelle und 3 Antworten sind richtig ist seine Glaubwürdigkeit nicht dieselbe als wenn ich ihm 100 Fragen stelle, wovon dann nur 3 Antworten richtig sind. Oder bringe ich da etwas durcheinander? Edit: Sorry q=1-p
01.12.2024, 15:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt darauf an, wie die $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ aus den $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ möglichen Geschichten ausgewählt werden, die überprüft werden. Meine Rechnung oben geht davon aus, dass diese Auswahl rein zufällig erfolgt. Und wenn das so ist, dann habe ich nichts von den Aussagen zurückzunehmen. Wenn das jedoch anders geschieht, dann musst du das entsprechend beschreiben und quantifizieren.

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