Rationale Zahlen als additive Gruppe

02.12.2024, 02:22

ZuolTxz

Rationale Zahlen als additive Gruppe

Meine Frage:
Hallo, es geht um eine Aufagabe, wo ich überhaupt nicht weiter komme.
Gegeben ist die Gruppe (Q,+), also die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Nun sind weiter zwei zyklische Untergruppen, die beide jeweils von einem rationalen Element ungleich 0 erzeugt werden. Die Aussage ist, dass der Schnitt der beiden zyklischen Gruppen nicht die triviale Gruppe, also die Gruppe mit den Element 0 ist.
Daraus soll auch gezeigt werden, dass folgt, dass die rationalen Zahlen als additive Gruppe kein kartesisches Produkt von zwei nicht trivialen Untergruppen sind.
Ich weiss wie gesagt nicht, wie ich beide Aussagen zeigen soll. Ich würde mich auf eure Hilfe freuen, da ich die gerade echt brauche.

Meine Ideen:
.

02.12.2024, 08:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von ZuolTxz
Die Aussage ist, dass der Schnitt der beiden zyklischen Gruppen nicht die triviale Gruppe, also die Gruppe mit den Element 0 ist.

Das ist doch trivial:

Wenn $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, mit ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ beide ungleich Null, sowie $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ , mit ebenfalls ganzzahligen $\begin{eqnarray*} c,d \end{eqnarray*}$ ungleich Null, so ist für diese Aussage doch lediglich nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ mindestens ein Element ungleich Null enthält:

Die ganze Zahl $\begin{eqnarray*} ac = \frac{a}{b} \cdot bc = \frac{c}{d}\cdot ad \end{eqnarray*}$ ist in beiden Untergruppen enthalten.

P.S.: Man kann darüber hinaus zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ zyklisch ist, und zwar mit erzeugendem Element $\begin{eqnarray*} \frac{\operatorname{kgV}(ad,bc)}{bd} = \frac{ac}{\operatorname{ggT}(ad,bc)} \end{eqnarray*}$ .

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