Injektivität und Surjektivität richtig nachgewiesen?

02.12.2024, 16:05

KonverDiv

Injektivität und Surjektivität richtig nachgewiesen?

Hallo

Angenommen $\begin{eqnarray*} p,q \in P(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ sind nicht-konstante Polynome mit gleichen Nullstellen mit $\begin{eqnarray*} m = deg(p) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n = deg(q) \end{eqnarray*}$ . Sei weiter $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \in P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ . Definiere $\begin{eqnarray*} T : P_{n-1}(\mathbb{C}) \times P_{m-1}(\mathbb{C}) \rightarrow P_{m+n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T(r,s) = rp + sq \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ injektiv und surjektiv ist.

Zur Injektivität:

Sei $\begin{eqnarray*} T(r,s) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann weisen wir nach, dass $\begin{eqnarray*} r = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ ist, was die Injektivität von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zeigt. Beachte $\begin{eqnarray*} T(r,s) = 0 = rp + sq \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} grad(rp + sq) \leq m + n -1 \end{eqnarray*}$ und weiter heißt dies $\begin{eqnarray*} grad(rp) \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} grad(sq) \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$ . Betrachten wir den höchsten Grad $\begin{eqnarray*} r_{n-1} p_m + s_{n-1}q_n = 0 \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ nicht konstant sind, müssen sich $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ gegenseitig eliminieren, das kann aber nur gehen, wenn $\begin{eqnarray*} r_{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{m-1} = 0 \end{eqnarray*}$ sind. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} r = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ , wie gefordert und zeigt $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

Zur Surjektivität:

Um die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zu zeigen, weisen wir nach, dass es für jedes Polynom $\begin{eqnarray*} f \in P_{m+n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ Polynome $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s\in P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} T(r,s) = f \end{eqnarray*}$ gilt. Wir müssen also $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} rp + sq = f \end{eqnarray*}$ gilt. Weil $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nicht-konstante Polynome mit gleichen Nullstellen sind, können wir verwenden, dass diese Polynome den Raum der Polynome mit Grad $\begin{eqnarray*} \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$ aufspannen. Wir können $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nun als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ scheiben, also $\begin{eqnarray*} f = rp + sq \end{eqnarray*}$ . wobei $\begin{eqnarray*} grad(r) \leq n-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} grad(s) \leq m-1 \end{eqnarray*}$ . Das ist möglich, weil der Grad von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ so gewählt werden kann, so dass $\begin{eqnarray*} rp \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sq \end{eqnarray*}$ den Grad von $\begin{eqnarray*} \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$ nicht übersteigt. Das heißt für jedes $\begin{eqnarray*} f \in P_{m+n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ , können wir $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s\in P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} T(r,s) = f \end{eqnarray*}$ ist. Das zeigt, $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

Meine Frage, ist das so richtig?

Danke für eure Antworten! Freude

02.12.2024, 16:40

HAL 9000

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Ich nehme mal an $\begin{eqnarray*} P_g(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ kennzeichnet bei dir die Polynome mit komplexen Koeffizienten vom Maximalgrad $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ - oder doch direkt vom Grad $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ? In letzterem Fall wäre es dann kein Vektorraum...

Wie auch immer, anscheinend gehört in viele deiner Gleichungen ein anderes Relationszeichen, etwa $\begin{eqnarray*} grad(rp+sq)\leq m+n-1 \end{eqnarray*}$ usw., das fällt beim Lesen und versuchten Verstehen enorm störend auf, weswegen ich an der Stelle dann auch abgebrochen habe.

02.12.2024, 16:56

KonverDiv

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich nehme mal an $\begin{eqnarray*} P_g(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ kennzeichnet bei dir die Polynome mit komplexen Koeffizienten vom Maximalgrad $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ - oder doch direkt vom Grad $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ? In letzterem Fall wäre es dann kein Vektorraum...

Ja, es handelt sich um den Maximalgrad und die Polynome haben komplexe Koeffizienten. Freude

Zitat:

Original von HAL 9000
Wie auch immer, anscheinend gehört in viele deiner Gleichungen ein anderes Relationszeichen, etwa $\begin{eqnarray*} grad(rp+sq)\leq m+n-1 \end{eqnarray*}$ usw., das fällt beim Lesen und versuchten Verstehen enorm störend auf, weswegen ich an der Stelle dann auch abgebrochen habe.

Ich habe das an den entsprechenden Stellen angepasst und würde mich freuen, wenn du nochmal drüber schauen könntest smile

02.12.2024, 19:01

HAL 9000

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Ich kann deine Argumentation dennoch nicht nachvollziehen:

Betrachten wir etwa $\begin{eqnarray*} p=x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=x^3 \end{eqnarray*}$ , beide haben - wie von dir gefordert - die gleiche Nullstellenmenge (hier: $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ ), es ist $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber

$\begin{eqnarray*} 0 = 0\cdot x^2 + 0\cdot x^3 = (-x^2)\cdot x^2 + x\cdot x^3 \end{eqnarray*}$ ,

ich sehe da nicht im geringsten eine Eindeutigkeit bei der Wahl von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , d.h. keine Spur von Injektivität unglücklich

Ich kann nur vermuten, dass du hier

Zitat:

Original von KonverDiv
Angenommen $\begin{eqnarray*} p,q \in P(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ sind nicht-konstante Polynome mit gleichen Nullstellen

was total vergurkt hast und in Wahrheit was ganz anderes meinst.

02.12.2024, 19:12

IfindU

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Surjektivität mit der Annahme von gleichen Nullstellen kann auch nicht funktionieren. Das Polynom $\begin{eqnarray*} T(r,s) \end{eqnarray*}$ hat für alle $\begin{eqnarray*} r,s \end{eqnarray*}$ mindestens die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} p.q \end{eqnarray*}$ . Und damit werden höchstens nur die Polynom getroffen, welche ebenfalls die Nullstellen besitzen. Nicht im Bild sind z.B. alle konstante Polynom außer dem Nullpolynom.

02.12.2024, 22:42

KonverDiv

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich kann nur vermuten, dass du hier

Zitat:

Original von KonverDiv
Angenommen $\begin{eqnarray*} p,q \in P(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ sind nicht-konstante Polynome mit gleichen Nullstellen

was total vergurkt hast und in Wahrheit was ganz anderes meinst.

Leider wahr! Hammer

Ich hatte ein "nicht" vergessen. Es muss richtig lauten:

Angenommen $\begin{eqnarray*} p,q \in P(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ sind nicht-konstante Polynome mit nicht gleichen Nullstellen.

@HAL 9000 und @IfindU bitte entschuldigt! smile

Ich würde es gerne erneut versuchen.

Zur Injektivität:
Sei $\begin{eqnarray*} T(r,s) = 0 \end{eqnarray*}$ , wir zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} r = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ sind, was die Injektivität von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nachweist. Betrachte $\begin{eqnarray*} T(r,s) = rp + sq = 0 \end{eqnarray*}$ , das heißt zunächst, dass $\begin{eqnarray*} rp \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sq \end{eqnarray*}$ Vielfache von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sind. Betrachten wir die Nullstellen, dann hat $\begin{eqnarray*} rp \end{eqnarray*}$ alle Nullstellen, die auch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ hat und $\begin{eqnarray*} sq \end{eqnarray*}$ hat alle Nullstellen, die auch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ hat. Wir wissen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ haben keine gemeinsamen Nullstellen. Dann impliziert $\begin{eqnarray*} rp + sq = 0 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} rp = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sq = 0 \end{eqnarray*}$ sein müssen und da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ beide keine konstanten Polynome sind, muss gelten $\begin{eqnarray*} r = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Injektivität von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Zur Surjektivität:
Um die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zu zeigen, weisen wir nach, dass es für jedes Polynom $\begin{eqnarray*} f \in P_{m+n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ Polynome $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \in P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} T(r,s)=f \end{eqnarray*}$ gilt. Wir müssen also $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} rp+sq=f \end{eqnarray*}$ gilt. Wir wissen $\begin{eqnarray*} grad(rp) \leq n+m-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} grad(sq) \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$ , das heißt der Grad von $\begin{eqnarray*} rp+sq = f \end{eqnarray*}$ ist kleiner gleich $\begin{eqnarray*} m+n-1 \end{eqnarray*}$ . Wir bilden nun eine Basis von $\begin{eqnarray*} P_{m+n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ aus der Basis von $\begin{eqnarray*} P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ . Seien hierfür $\begin{eqnarray*} \{1,x,...,x^{n-1}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1,x,...,x^{m-1}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ . Wir können nun Koeffizienten $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray*} rp \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sq \end{eqnarray*}$ den Grad von $\begin{eqnarray*} \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$ nicht übersteigt. Das heißt für jedes $\begin{eqnarray*} f \in P_{m+n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ , können wir $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \in P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} T(r,s)=f \end{eqnarray*}$ ist. Das zeigt, $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

03.12.2024, 08:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von KonverDiv
Zur Injektivität: [...] Dann impliziert $\begin{eqnarray*} rp + sq = 0 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} rp = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sq = 0 \end{eqnarray*}$ sein müssen

Seh ich nicht ein. Irgendwie muss in diesen Schluss ja die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}),s \in P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ eingehen, denn sonst könnte man ja einfach wählen $\begin{eqnarray*} r=q,s=-p \end{eqnarray*}$ !!!

P.S.: Die Voraussetzung hinsichtlich $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ hätte ich einfach "teilerfremd" genannt.

03.12.2024, 08:53

KonverDiv

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Zitat:

Original von HAL 9000
Seh ich nicht ein. Irgendwie muss in diesen Schluss ja die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}),s \in P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ eingehen, denn sonst könnte man ja einfach wählen $\begin{eqnarray*} r=q,s=-p \end{eqnarray*}$ !!!

Hallo HAL 9000,
danke für deine Antwort! Diesen Fallstrick hatte ich mir auch noch notiert. Aber gegen diese Belegung spricht doch, dass $\begin{eqnarray*} grad(p) = m \end{eqnarray*}$ (hier tatsächlich gleich) ist und $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} grad(r) \leq n-1 \end{eqnarray*}$ war, also müssen die Polynome nicht unbedingt gleichen Grad besitzen.

03.12.2024, 08:59

HAL 9000

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Nur weil dieses eine Beispiel nicht passt, ist dein Beweis doch noch nicht repariert. unglücklich

03.12.2024, 09:08

KonverDiv

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Ok, dann weiß ich nicht, wie man die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} r \in P_{n-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s \in P_{m-1}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ dann irgendwie sinnvoll unterbringen kann...

Also was haben wir:
$\begin{eqnarray*} rp + sq = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} grad(r) \leq n-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 < grad(p) = m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} grad(rp) \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} grad(s) \leq m-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 < grad(q) = n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} grad(sq) \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} grad(rp+sq) \leq m+n-1 \end{eqnarray*}$

Wir wollen zeigen, $\begin{eqnarray*} s = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r = 0 \end{eqnarray*}$ .

03.12.2024, 09:10

HAL 9000

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Mal als Gegenentwurf, wie ich vorgehen würde:

Zitat:

"Keine gemeinsamen Nullstellen" heißt, es gibt keinen Linearfaktor, der beide Polynome $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ teilt, damit gibt es dann (im Komplexen) auch überhaupt kein nichttriviales Polynom $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , welches beide Polynome teilt, d.h. die schon erwähnte Teilerfremdheit der Polynome trifft hier zu.

Das bedeutet dann aber, dass für $\begin{eqnarray*} rp+sq=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} sq=-rp \end{eqnarray*}$ und dem daraus folgenden $\begin{eqnarray*} q\mid (rp) \end{eqnarray*}$ zwingend $\begin{eqnarray*} q\mid r \end{eqnarray*}$ folgt, was entweder $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} \operatorname{deg}(r)\geq \operatorname{deg}(q) = n \end{eqnarray*}$ zur Folge hat, letzteres im Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \operatorname{deg}(r) < n \end{eqnarray*}$ .

Hier ist genau zu sehen, wie die Voraussetzung hinsichtlich Grad von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ in die Beweisführung eingeht - bei dir sehe ich nichts davon.

03.12.2024, 09:18

KonverDiv

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Diesen Teilbarkeitsansatz verstehe ich!

Der Widerspruch zum Grad ist mir auch gerade aufgefallen, als ich die Auflistung der Voraussetzungen nochmal aufgeschrieben habe. Dort ist mir bei $\begin{eqnarray*} rp + sq = 0 \end{eqnarray*}$ aufgefallen, dass es mit Ausnahme der Null für $\begin{eqnarray*} r = s = 0 \end{eqnarray*}$ keine andere Belegung geben kann, denn wegen $\begin{eqnarray*} grad(r) \leq n-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} grad(q) = n \end{eqnarray*}$ kann man für das Polynom $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ kein geeignetes Polynom finden, sodass sich die Ausdrücke eliminieren. Ebenso für $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

03.12.2024, 15:21

IfindU

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Ohne tiefer einzusteigen, ein alternativer Ansatz,

Etwas anschaulicher finde ich (Analysis-geprägt und sicher individuell) den Speziallfall wo $\begin{eqnarray*} p.q \end{eqnarray*}$ nur einfache Nullstellen haben da man hier leicht mit dem Fundamentalsatz der Algebra argumentieren kann. Seien $\begin{eqnarray*} z_1, \ldots, z_m \end{eqnarray*}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_1, \ldots, w_n \end{eqnarray*}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ .

Angenommen $\begin{eqnarray*} T(r,s) = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} T(r,s)(z) = 0 \end{eqnarray*}$ für allle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Setzt man die Nulllstellen von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein, erhält man $\begin{eqnarray*} 0 = T(r,s)(z_i) = (rp)(z_i) + (sq)(z_i) = s(z_i)q(z_i) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} q(z_i) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} s(z_i) = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit besitzt $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ insgesamt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ verschiedene Nullstellen, und da $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ nur Grad $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ besitzt, muss es das Nullpolynom sein.

Zum allgemeinen Fall kann man vermutlich recht leicht gehen, indem man nachweißt, dass eine $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zu einer $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -fachen Nullstelle von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ führt, bspw. durch Betrachtung $\begin{eqnarray*} z\mapsto (z-z_i)^{-k} T(r,s)(z) \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} z\to z_i \end{eqnarray*}$ betrachtet.

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