Folgen und Reihen

02.12.2024, 16:44

MMchen60

Folgen und Reihen

Liebe Forumsgemeinde, es geht u die Aufgabe gemäß Anhang.
Ich verstehe hier eine Sache nicht. Wieso wird bei z.B $\begin{eqnarray*} \nu_{123} \end{eqnarray*}$ durch die angegebene Summe die Zahl 0,321 erzeugt? Bei $\begin{eqnarray*} \nu_{123} \end{eqnarray*}$ ist bei k=1 die Ziffer doch 1 uind nicht 3 ???
Vielen Dank für Antwort.

02.12.2024, 17:01

Steffen Bühler

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RE: Folgen und Reihen
Das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ läuft von rechts nach links. Die Zahl $\begin{eqnarray*} n=123 \end{eqnarray*}$ wird gebildet durch $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 10^0+2 \cdot 10^1+1 \cdot 10^2 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} z_0=3, z_1=2, z_2=1 \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich für $\begin{eqnarray*} v_{123}=3 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3} = \dots \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

02.12.2024, 17:58

HAL 9000

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Anmerkung zur Lösung: Die Teilfolgenkonstruktion ist alles andere als eindeutig, allerdings wird man sicher eine möglichst einfache Struktur wählen wollen, und die für die meisten $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ ziemlich naheliegend sein sollte. Allerdings sollte man auch und gerade im Fall " $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ besitzt eine endliche Dezimalbruchentwicklung" sorgfältig über die Details einer solchen Konstruktion nachdenken... Augenzwinkern

02.12.2024, 18:13

MMchen60

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RE: Folgen und Reihen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ läuft von rechts nach links. Die Zahl $\begin{eqnarray*} n=123 \end{eqnarray*}$ wird gebildet durch $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 10^0+2 \cdot 10^1+1 \cdot 10^2 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} z_0=3, z_1=2, z_2=1 \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich für $\begin{eqnarray*} v_{123}=3 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3} = \dots \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

Ja, danke, aber wo geht denn aus der Aufgabenstellung hervor, dass das ganze von rechts nach links läuft? Oder ist das per se aus dem Hinweis, dass sich $\begin{eqnarray*} \nu_{123} \end{eqnarray*}$ zu 0,321 ergibt ???

02.12.2024, 18:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Ja, danke, aber wo geht denn aus der Aufgabenstellung hervor, dass das ganze von rechts nach links läuft?

Nun, du wirst doch die normale dezimale Zahlendarstelung kennen, zumindest von ganzen Zahlen: Da steht ganz rechts die Einzerziffer, links davor die Zehnerziffer usw.

Am Beispiel: $\begin{eqnarray*} 748 = 700 + 40 + 8 = 7\cdot 100 + 4\cdot 10 + 8 = 7\cdot 10^2 + 4\cdot 10^1 + 8\cdot 10^0 \end{eqnarray*}$

Ob man das nun so oder die Summanden umgekehrt angeordnet als $\begin{eqnarray*} 8\cdot 10^0 + 4\cdot 10^1 + 7\cdot 10^2 \end{eqnarray*}$ schreibt, sollte dich doch eigentlich nicht ins Schleudern bringen - oder doch? verwirrt

Die umgekehrte Anordnung der Ziffern in $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ geht primär nicht aus dem Beispiel hervor, sondern aus der allgemeinen Bildungsvorschrift $\begin{eqnarray*} v_n = \sum_{k=0}^K z_k\cdot 10^{{\color{red}-k}-1} \end{eqnarray*}$ - die muss man eben einfach nur sorgfältig durchdenken.

Konkret am Beispiel:

Ziffer 8 gehört bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 10^0 \end{eqnarray*}$ (Einerstelle) und bei $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 10^{-1} \end{eqnarray*}$ (erste Nachkommastelle)
Ziffer 4 gehört bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 10^1 \end{eqnarray*}$ (Zehnerstelle) und bei $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 10^{-2} \end{eqnarray*}$ (zweite Nachkommastelle)
Ziffer 7 gehört bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 10^2 \end{eqnarray*}$ (Hunderterstelle) und bei $\begin{eqnarray*} v_n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 10^{-3} \end{eqnarray*}$ (dritte Nachkommastelle)

Zusammengeführt: $\begin{eqnarray*} v_{748} = 0.847 \end{eqnarray*}$

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