Herleitung der Formel (cos(x))^2+(sin(x))^2=1

04.12.2024, 18:52

quickyummy

Herleitung der Formel (cos(x))^2+(sin(x))^2=1

Meine Frage:
Wir dürfen nicht annehmen das exp(x)=e^x ist.
Wir dürfen keine Ankatheten,Gegenkatheten,Hypotenusen verwenden.
Taylor-Reihe haben wir auch noch nicht gemacht.

Meine Ideen:
Wir haben die Summensätze für trigonometrische und hyperbolische Funktionen hergeleitet

04.12.2024, 22:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von quickyummy
Wir haben die Summensätze für trigonometrische und hyperbolische Funktionen hergeleitet

Na dann nimm die doch!

$\begin{eqnarray*} \cos(x-x) = \cos(x+(-x)) = \ldots \end{eqnarray*}$

Dabei gehe ich davon aus, dass ihr neben den Summensätzen zumindest noch die Symmetrieeigenschaften $\begin{eqnarray*} \cos(-x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin(-x)=-\sin(x) \end{eqnarray*}$ verwenden dürft, und außerdem noch $\begin{eqnarray*} \cos(0)=1 \end{eqnarray*}$ .

05.12.2024, 10:24

Leopold

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Es klingt nicht danach, als ob die Ableitung verwendet werden dürfte. Falls aber doch, könnte man schlicht

$\begin{align*} f(x) = \cos^2(x) + \sin^2(x) \end{align*}$

differenzieren.

05.12.2024, 15:52

HAL 9000

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Man wird sich von (so gut wie) allem lösen müssen, was man über Sinus und Kosinus weiß. D.h., man kann das als Funktionalgleichung auffassen:

Für zwei reelle (oder ggfs. auch komplexe) Funktionen $\begin{eqnarray*} c,s \end{eqnarray*}$ soll nachgewiesen werden $\begin{eqnarray*} \left(c(x)\right)^2 + \left(s(x)\right)^2 = 1\qquad (1) \end{eqnarray*}$ .

Verwendet werden darf

$\begin{eqnarray*} s(x+y) = c(x)s(y) + s(x)c(y)\qquad (2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)\qquad (3) \end{eqnarray*}$ .

Das allein reicht aber offenkundig nicht, denn z.B. die beiden Nullfunktionen $\begin{eqnarray*} c(x)=s(x)=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen (2) und (3), aber nicht Behauptung (1).

Was also darf noch verwendet werden: Vielleicht $\begin{eqnarray*} c(0)=1 \end{eqnarray*}$ ? Die genannten Symmetrien $\begin{eqnarray*} c(-x)=c(x),s(-x)=-s(x) \end{eqnarray*}$ ?

Davon wird es abhängen, wie der Beweis konstruiert werden kann.

18.01.2025, 18:44

Ehos

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Wenn das Differenzieren und Integrieren erlaubt sind, kann man einfach von der exakten Definition des Sinus und Kosinus ausgehen. Demnach sind $\begin{eqnarray*} y_1(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(x)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ Lösungen des folgenden Differentialgleichungsystems:

$\begin{eqnarray*} y'_1=y_2 \end{eqnarray*}$ __________________________(1)
$\begin{eqnarray*} y'_2=-y_1 \end{eqnarray*}$ _________________________(2)

Die Anfangsbedingungen lauten:

$\begin{eqnarray*} y_1(0)=0 \end{eqnarray*}$ ____________________________(3)
$\begin{eqnarray*} y_2(0)=1 \end{eqnarray*}$ ____________________________(4)

Multipliziert man (1) mit $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2}y_1 \end{eqnarray*}$ und (2) mit $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2}y_2 \end{eqnarray*}$ und addiert anschließend beide Gleichungen, erhält man

$\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2}y_1y'_1+\tfrac{1}{2}y_2y'_2=0 \end{eqnarray*}$

Integration dieser Gleichung ergibt

$\begin{eqnarray*} y_1^2+y_2^2=const. \end{eqnarray*}$

Aufgrund der obigen Anfangsbedingungen muss die Konstante den Wert 1 haben, womit die Formel bewiesen wäre.

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