Beweis Ideale

04.12.2024, 20:41	Anna-Algebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Ideale Hallo zusammen, für unsere Vorlesung haben wir eine Aufgabe zu lösen bei der ich nicht weiter komme und ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen. Es geht um Ringe und Ideale. Sei R ein Ring, sodass für alle $\begin{eqnarray} a,b\in R[/l] ein Element [latex]g\in R \end{eqnarray}$ exitiert mit $\begin{eqnarray} (a,b)=(g) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass dies dann auch für endlich viele Elemente gilt, d.h. $\begin{eqnarray} (a_1,\ldots,a_k)=(g) \end{eqnarray}$ . Ich weiß hier nicht genau wie ich vorgehen soll. Zunächst mal bin ich mir unsicher, ob dass g das gleiche ist? Oder sind das unterschiedliche g? Und dann habe ich Probleme mit dem Ring, bisher hatten wir das immer nur für die ganzen Zahlen gemacht. Daher weiß ich auch, dass in diesem Fall dann der größte gemeinsame Teiler wichtig ist und dieses g der größte gemeinsame Teiler von a und b ist. Aber hier habe ich ja keine Zahlen und keinen größten gemeinsamen Teiler, oder übersehe ich da etwas?
05.12.2024, 07:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ggT hast du hier nicht, weil ein Ring nicht geordnet sein muss. Ein Beweis geht mit 3 Elementen so: $\begin{eqnarray} (a,b,c)=((a,b),c)=(d,c)=(g) \end{eqnarray}$ (benutze die Definition von $\begin{eqnarray} (a,b,c) \end{eqnarray}$ als Menge), also i.a. durch vollständige Induktion. Das erzeugende Element des Hauptideals kannst du nennen wie du willst, also immer g oder wie auch immer.

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