Empirische Varianz als Bewertungskriterium

05.12.2024, 15:58

punktlandung3

Empirische Varianz als Bewertungskriterium

Meine Frage:

Guten Abend Grüß Gott

ich habe eine Frage zu Stochastik/Wahrscheinlichkeitsrechnung, und eigentlich sind es mehrere.
Wenn die Näherung von De Moivre-Laplace gelten soll, muss Sigma² die Varianz größer gleich 9 sein.
Und das gilt offenbar nicht für empirisch ermittelte Abweichungen (sigma), denn diese sind ja Werte- also skalenabhängig!?
Worin liegt der Unterschied, rührt dieser von der Herleitung, oder liegt es in der Natur der Sache?

Und die Frage ist dann; gibt es Kriterien für besonders kleine Probenmengen welche entscheiden, ob eine Binomialverteilung angenommen werden kann?

Meine Ideen:

Die Aufgabe lautet,
es liegen Quartalszahlen von zwei Filialen vor von diesem Jahr und ein Mittelwert vom gesamten letzten Jahr.
Nun soll geprüft werden, welche der zwei in diesem Jahr besser abgeschnitten hat.

Geschäft A : 920 Tsd. (letztes Jahr) | 900; 890; 840; 980 Tsd. (dieses Jahr)
Geschäft B : 850 Tsd. (letztes Jahr) | 790; 870; 810; 880 Tsd. (dieses Jahr)

Gelöst wird mit $\begin{eqnarray*} z= \frac{x_{mittel} - x_{vorjahr}}{sigma_{quartal}} \end{eqnarray*}$

Wenn das als binomialverteilt angenommen wird (n=4), wie muss man sich das vorstellen. Ist die erste Frage "Wert (i) liegt eins höher als Erwartungswert",
dann "liegt eins niedriger", dann "zwei höher" usw. und das bis ins Unendliche oder wie herum. Das ist auch nicht ganz ersichtlich.

05.12.2024, 21:15

punktlandung3

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RE: Empirische Varianz als Bewertungskriterium
Der Verdacht ist nun der gewesen, dass eine über die Stichprobenvarianz normierte Zufallsvariable und eine über modellgestützte Varianz normierte Zufallsvariable
darum überhaupt nicht miteinander vergleichbar sein könnten (aufgrund der Definition), lediglich untereinander.

Ein qualifizierter Kommentar ist manchmal effektiver als der passende Wegweiser.

Viele Grüße

06.12.2024, 14:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von punktlandung3
Wenn die Näherung von De Moivre-Laplace gelten soll, muss Sigma² die Varianz größer gleich 9 sein.

Moivre-Laplace befasst sich exklusiv mit der Näherung von binomialverteilten $\begin{eqnarray*} S_n\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ asymptotisch durch die Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(np,np(1-p)\right) \end{eqnarray*}$ .

Die Faustregel $\begin{eqnarray*} \sigma^2 > 9 \end{eqnarray*}$ bezieht sich also nur auf diese Situation mit Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = np(1-p) \end{eqnarray*}$ , nicht auf zusätzlich skalierte $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ oder gar andere Summen-Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} S_n = X_1+\ldots+X_n \end{eqnarray*}$ , wo die $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ anders verteilt sind also $\begin{eqnarray*} B(1,p) \end{eqnarray*}$ .

Bei deinen Geschäftszahlen hier wüsste ich nicht, wie man die auf Binomialverteilungen zurückführen sollte. Wenn sich die Zahlen als Summe vieler kleiner unabhängig gleichverteilter Größen ergeben, dann mag das schon ein Fall für den Zentralen Grenzwertsatz (ZGWS) sein, aber eben nicht dem ZGWS von Moive-Laplace, sondern dem allgemeineren von Lindeberg-Levy. Für den gilt die obige Faustformel nicht (woher auch, da gibt es ja auch nicht den Parameter $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ).

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