Berührende Kreise an einer variablen Tangente

06.12.2024, 10:29

Conny_1729

Berührende Kreise an einer variablen Tangente

Hallo,
da heute Nikolaus ist und auch das Wochenende vor der Tür steht, wollte ich mal wieder ein nettes Geometrierätsel einstellen. Im Grunde genommen ist dieser Typus Aufgabe ja schon bekannt und oft genug durchgekaut worden. Doch die Aufgabe schließt dieses Mal die Besonderheit eines Extremwertproblems mit ein.

Aufgabe:
Gegeben ist eine Gerade, die unter einem Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durch den Koordinatenursprung geht. Auf der y-Achse befinden sich die Mittelpunkte von drei Kreisen $\begin{eqnarray*} R_1, R_2, R_M \end{eqnarray*}$ , welche die Gerade tangieren (siehe Anlage).
In der Überlappung der beiden Kreise mit den Radien $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ wird ein Kreis mit maximalem Radius r eingeschrieben. Derselbe Radius r soll dann auch noch einmal als eingeschriebener Kreis zwischen den Radien $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ und der Gerade vorliegen.

Um bzgl. des Radius r eine Eindeutigkeit der Kreiskonstruktion zu erlangen, ist der Steigungswinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der Gerade festgelegt durch:
$\begin{eqnarray*} \alpha=arccos\left(\frac{r-1}{r+1} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r\in \mathbb R \\r>1 \end{eqnarray*}$

Fragestellungen:
(1)
Welchen Wert muss der Radius r haben, damit die y-Koordinate $\begin{eqnarray*} y_t \end{eqnarray*}$ vom Tangentenpunkt minimal wird? Wie groß ist das Verhältnis zwischen $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ in diesem Fall?
(2)
Welchen Wert muss der Radius r haben, wenn die Kreise mit den Radien $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_x \end{eqnarray*}$ sich tangential berühren sollen?
(3)
Nach welchen allgemeinen Formeln lassen sich die folgenden Radien errechnen, wenn r beliebig sein darf (r>1), also die Forderungen aus (1) und (2) nicht betrachtet werden müssen?
$\begin{eqnarray*} R_1(r)=?\\R_2(r)=?\\R_M(R_1,R_2)=? \end{eqnarray*}$

Ich wünsche Euch dann noch prall gefüllte Socken und einen geruhsamen 2.Advent.
Gruß Conny
.

06.12.2024, 15:01

HAL 9000

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Nettes Problem - nicht ganz die Situation sich "ausschließlich berührender Kreise bzw. Geraden" (Kreis 1 und 2 schneiden sich ja echt), ansonsten wäre es gleich was für den Satz von Descartes, wie schon das eine oder andere mal bei einer Forumanfrage hier. Augenzwinkern

10.12.2024, 16:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Conny_1729
(3) Nach welchen allgemeinen Formeln lassen sich die folgenden Radien errechnen, wenn r beliebig sein darf (r>1), also die Forderungen aus (1) und (2) nicht betrachtet werden müssen?
$\begin{eqnarray*} R_1(r)=?\\R_2(r)=?\\R_M(R_1,R_2)=? \end{eqnarray*}$

Damit der Thread nicht ganz verhungert, steuere ich zumindest das bei:

$\begin{eqnarray*} R_1 = \left(\sqrt{2r} + 1\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_2 = \left(\sqrt{2r} + r\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_M = \sqrt{R_1 R_2} \end{eqnarray*}$

10.12.2024, 18:46

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Ausgezeichnet!!!
Damit hast du die größte Schwerstarbeit bei diesem Problem erschlagen.

Als ich mich das erste Mal in das Problem vertieft habe, bin ich anfänglich auf diese Darstellung gestoßen:

$\begin{eqnarray*} r=2^{2\cdot t+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t>-0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_1=\left(2^{t+1}+1\right)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_2=\left(2^{t}+1\right)^2\cdot 2^{2\cdot t+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_M=\left(2^{t+1}+1\right)\cdot\left(2^{t}+1\right)\cdot 2^{t+1} \end{eqnarray*}$

Erst danach habe ich sie in die abschließende Form gebracht, wie sie unter (3) gesucht war. Der Rest ist ja dann eigentlich nur noch Konstruktion und etwas Extremwertsuche.

Gruß Conny

11.12.2024, 11:05

HAL 9000

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Na gut, mache ich weiter mit (1) (diesmal mit etwas CAS-Unterstützung):

Es müsste gelten $\begin{eqnarray*} y_t = R_M\cdot \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \left(\sqrt{2r} + 1\right)\left(\sqrt{2r} + r\right)\frac{4r}{r^2-1} \end{eqnarray*}$ .

Da ich die Wurzeln nicht mag, betrachte ich lieber $\begin{eqnarray*} y_t = f(\sqrt{2r}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{4x^3(x+1)(x+2)}{x^4-4} \end{eqnarray*}$ , das ergibt

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x)\cdot \left[ \frac{3}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{4x^3}{x^4-4}\right] = \frac{4x^2}{(x^4-4)^2} \left[ x^6-2x^4-20x^2-48x-24 \right] = \frac{4x^2}{(x^4-4)^2} \left(x^2-2x-2\right) \left(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 12x + 12\right) \end{eqnarray*}$

mit der einzigen positiv reellen Nullstelle $\begin{eqnarray*} x^* = 1+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , was dann $\begin{eqnarray*} r^* = \frac{x^2}{2} = 2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ enstpricht mit Minimalwert $\begin{eqnarray*} y_t^* = f(1+\sqrt{3}) = 14+8\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , das geschieht bei einem Radienverhältnis $\begin{eqnarray*} \frac{R_2^*}{R_1^*} = 3 \end{eqnarray*}$ .

(2) hab ich nicht gerechnet, aber laut meiner Zeichnung geschieht das anscheinend bei dem selben $\begin{eqnarray*} r=r^*=2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ wie in (1).

11.12.2024, 13:18

Conny_1729

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Zitat:

Original von HAL 9000
Na gut, mache ich weiter mit (1) (diesmal mit etwas CAS-Unterstützung):
...
... was dann $\begin{eqnarray*} r^* = \frac{x^2}{2} = 2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ enstpricht mit Minimalwert $\begin{eqnarray*} y_t^* = f(1+\sqrt{3}) = 14+8\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , das geschieht bei einem Radienverhältnis $\begin{eqnarray*} \frac{R_2^*}{R_1^*} = 3 \end{eqnarray*}$ .

(2) hab ich nicht gerechnet, aber laut meiner Zeichnung geschieht das anscheinend bei dem selben $\begin{eqnarray*} r=r^*=2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ wie in (1).

Das sind auf den Punkt genau die gesuchten Ergebnisse für (1) und (2). Alles gelöst!!! Perfekt!!!

Ich habe zu diesem Problem eine Konstruktion mit GeoGebra erzeugt und als Anlage beigefügt. Dazu sei bemerkt: Die erste Hälfte (schwarzgefärbte Elemente) beschäftigt sich allein mit der Konstruktion des Punktes "B" als Mittelpunkt des Starkreises mit Radius r. Die "rote Konstruktion" erfolgt dann bezüglich der blauen Tangente, die sich mit dem Schieberegler für den Radius r verändern lässt.

Interessant fand ich, dass die beiden Mittelpunkte der Kreise mit Radius r gleich weit weg vom Koordinatenursprung sind. Ich habe diese "Bonus"-Eigenschaft aber nicht in GeoGebra verwendet.

Ansonsten gilt nur für den Sonderfall $\begin{eqnarray*} r=2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , dass man dann insgesamt 4 tangentiale Kreise (bzw. 5 Kreise wegen Spiegelbild) mit dem Radius r konstruieren kann. (siehe Anlage)

Gruß Conny
.

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