Zeige T^2 = -I gegeben T^4 = I

08.12.2024, 10:38

KonverDiv

Zeige T^2 = -I gegeben T^4 = I

Hallo

Angenommen es ist $\begin{eqnarray*} T : V \rightarrow T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ hat keine Eigenwerte, weiter soll gelten, dass $\begin{eqnarray*} T^4 = I \end{eqnarray*}$ . Wie zeigt man dann, dass $\begin{eqnarray*} T^2 = -I \end{eqnarray*}$ ist?

Mein Ansatz wäre:

$\begin{eqnarray*} T^4 = (T^2)^2 = I \end{eqnarray*}$

Angenommen $\begin{eqnarray*} T^2 = I \end{eqnarray*}$ , dann könnten wir schreiben $\begin{eqnarray*} T^2v = Iv \end{eqnarray*}$ und sei weiter $\begin{eqnarray*} Tv = \lambda v \end{eqnarray*}$ , dann hätten wir $\begin{eqnarray*} T^2v = T(Tv) = T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda^2 v \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} T^2v = Iv \end{eqnarray*}$ würde daraus folgen $\begin{eqnarray*} \lambda^2 v = I v \end{eqnarray*}$ und das impliziert die Lösungen $\begin{eqnarray*} \lambda = \pm 1 \end{eqnarray*}$ , dann hätte $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ aber Eigenwerte, was einen Widerspruch zur Aussage oben darstellt, also muss gelten $\begin{eqnarray*} T^2 = -I \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

Kann man das so machen? verwirrt

Danke für eure Antworten!

08.12.2024, 11:46

Elvis

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RE: Zeige T^2 = -I gegeben T^4 = I

Zitat:

Original von KonverDiv

Angenommen $\begin{eqnarray*} T^2 = I \end{eqnarray*}$ , dann könnten wir schreiben $\begin{eqnarray*} T^2v = Iv \end{eqnarray*}$ und sei weiter $\begin{eqnarray*} Tv = \lambda v \end{eqnarray*}$ , ...

Das geht gar nicht, weil $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung keine Eigenwerte hat. Auch ist die Annahme $\begin{eqnarray*} T^2=I \end{eqnarray*}$ nicht begründet.

08.12.2024, 12:16

IfindU

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RE: Zeige T^2 = -I gegeben T^4 = I
Als Beweisideee: Cayley–Hamilton

08.12.2024, 16:52

KonverDiv

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Hallo @Elvis, ich wollte versuchen daraus einen Widerspruch herzuleiten. Ich würde gerne ein paar Fragen nachschieben.

1. $\begin{eqnarray*} T^4 = I \end{eqnarray*}$ kann man doch als Eigenwertproblem $\begin{eqnarray*} T^4 v = \lambda^4 v \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} T^4 = I \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} Iv = 1v = \lambda^4 v \end{eqnarray*}$ interpretieren, richtig?

2. Warum ich $\begin{eqnarray*} T^2 = I \end{eqnarray*}$ betrachtet habe. Also Es ist $\begin{eqnarray*} T^4 = (T^2)^2 = I \end{eqnarray*}$ , damit muss $\begin{eqnarray*} T^2 \end{eqnarray*}$ folgendes erfüllen $\begin{eqnarray*} T^2 = \pm I \end{eqnarray*}$ . Wäre das die Begründung, von der du sprichst?

Hallo @IfindU, geht das auch ohne den Satz von Cayley–Hamilton?

08.12.2024, 17:31

URL

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Geht auch direkt mit $\begin{eqnarray*} 0=T^4-I=(T-I)(T+I)(T^2+I) \end{eqnarray*}$
und der Beobachtung $\begin{eqnarray*} (T\pm I)w=0 \iff Tw = \mp w \end{eqnarray*}$

09.12.2024, 10:10

KonverDiv

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Hallo @URL, danke! Jetzt wo man das so sieht, ist alles klar, danke dir!

09.12.2024, 11:07

IfindU

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Ich meinte auch genau das mit Cayley-Hamilton, auch wenn ihr natürlich Recht habt und man es nicht braucht. Der unnötige Schritt extra wäre $\begin{eqnarray*} T^4 = Id \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} p(x) = x^4 - 1 \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom ist und Cayley-Hamilton, dass $\begin{eqnarray*} T^4 - id = 0 \end{eqnarray*}$ womit man sich großartig im Kreis gedreht hat Big Laugh

Von da aus wäre es mit URLs Vorschlag gegangen.

22.12.2024, 12:42

jester.

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Zitat:

Original von IfindU
Ich meinte auch genau das mit Cayley-Hamilton, auch wenn ihr natürlich Recht habt und man es nicht braucht. Der unnötige Schritt extra wäre $\begin{eqnarray*} T^4 = Id \end{eqnarray*}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray*} p(x) = x^4 - 1 \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom ist und Cayley-Hamilton, dass $\begin{eqnarray*} T^4 - id = 0 \end{eqnarray*}$ womit man sich großartig im Kreis gedreht hat Big Laugh

Von da aus wäre es mit URLs Vorschlag gegangen.

Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , das charakteristische Polynom ist hier $\begin{eqnarray*} X^2+1 \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} X^4-1 \end{eqnarray*}$ .

Und selbst im vierdimensionalen Fall kommt man nicht auf $\begin{eqnarray*} X^4-1 \end{eqnarray*}$ : Wenn man zwei Kopien des letzten Beispiels zu
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1 \\ -1& 0 \\ &&0&1 \\ &&-1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zusammenbaut, hat man ein vierdimensionales Beispiel mit charakteristischem Polynom $\begin{eqnarray*} (X^2+1)^2 = X^4+2X^2+1 \end{eqnarray*}$ .

Man kann nur folgendes sagen: Aus der Relation $\begin{eqnarray*} T^4 = \mathrm{id} \end{eqnarray*}$ folgt, dass das charakteristische Polynom von der Form $\begin{eqnarray*} (X-1)^a(X+1)^b (X^2+1)^c \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} a+b+2c = \mathrm{dim}(V) \end{eqnarray*}$ ; die Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ keine Eigenwerte habe, erzwingt dann noch $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ .

22.12.2024, 15:22

IfindU

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@jester.
Vielen Dank dir. Ich hatte auch das Gefühl, dass es Gegenbeispiel gibt. Freude

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