Nicht rational?

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10.12.2024, 08:59

Dopap

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Nicht rational?

Wie zeigt man auf Schulniveau am einfachsten, dass

$\begin{eqnarray*} \tan(1^\circ) \end{eqnarray*}$ irrational ist?

10.12.2024, 09:19

HAL 9000

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \tan(x+y) = \frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)} \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x+y\neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Aus der Annahme " $\begin{eqnarray*} \tan(x) \end{eqnarray*}$ rational" folgt damit durch vollständige Induktion unmittelbar " $\begin{eqnarray*} \tan(nx) \end{eqnarray*}$ rational" für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} nx\neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Speziell für $\begin{eqnarray*} x=1^{\circ}=\frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=30 \end{eqnarray*}$ müsste damit $\begin{eqnarray*} \tan(nx) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$ rational sein, Widerspruch.

P.S.: Über die Additionstheoreme ist ebenfalls klar, dass sämtliche Kosinuswerte $\begin{eqnarray*} \cos(q\pi) = \cos\left(q\cdot 180^{\circ}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ algebraisch sind, was dann auch auf für die entsprechenden Sinuswerte zutrifft, und mittelbar auch auf die Tangens- und Kotangenswerte, soweit die Argumente in der Definitionsmenge jener Funktionen liegen.

10.12.2024, 12:08

G101224

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Ist das noch Schulniveau? verwirrt

10.12.2024, 12:27

HAL 9000

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Additionstheoreme sind kein Hexenwerk, können sogar elementargeometrisch bewiesen werden. Und Vollständige Induktion ist (glaube ich) Gymnasialschulstoff, war es zumindest noch bis vor kurzem.

10.12.2024, 13:47

Elvis

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Zumindest an jedem Emmy-Noether-Gymnasium muss man auch wissen, was algebraische Zahlen sind. Augenzwinkern

10.12.2024, 18:04

Conny_1729

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Ich wäre auch über das Additionstheorem gegangen:

$\begin{eqnarray*} \tan(x\pm y) = \frac{\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)} \end{eqnarray*}$

hätte dann aber den etwas längeren Weg über die Winkelverdopplung genommen, was letztendlich auf dasselbe hinausläuft. Eben, wie man es mag.

$\begin{eqnarray*} tan(1°)=p_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Annahme: } p_i\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan(2\cdot 1°)=\frac{2\cdot tan(1°)}{1-tan^2(1°) }=\frac{2\cdot p_0}{1-p^2_0}=p_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tan(2\cdot 2\cdot 1°)=\frac{2\cdot p_1}{1-p^2_1}=p_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tan(2\cdot 2\cdot 2\cdot 1°)=\frac{2\cdot p_2}{1-p^2_2}=p_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tan(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 1°)=\frac{2\cdot p_3}{1-p^2_3}=p_4=tan(16°) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tan(16°-1°)=tan(15°)=2-\sqrt{3} =\frac{p_4-p_0}{1+p_4\cdot p_0} \color{red} \text{ Widerspruch!!!} \end{eqnarray*}$

Gruß Conny

10.12.2024, 18:19

Dopap

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Sorry lieber Elvis, mein Gymnasium war nicht so prominent, sogar der Name ist schon vergessen!
Kannst Du da aushelfen? verwirrt

Aber geht es nicht auch ohne Induktion:

Annahme ---> tan ( 2 grad)= (2 tan(1 grad))/(1-tan^2(1 grad)) ist rational ---->

tan ( 4 grad)= (2 tan(2 grad))/(1-tan^2(2 grad)) ist rational ---->
tan ( 8 grad)= (2 tan(4 grad))/(1-tan^2(4 grad)) ist rational ---->
tan ( 16 grad)= (2 tan(8 grad))/(1-tan^2(8 grad)) ist rational ---->
tan ( 32 grad)= (2 tan(16 grad))/(1-tan^2(16 grad)) ist rational ---->

tan ( 30 grad)= tan (32 grad -2 grad) = ... ist rational unglücklich

und schon ist aus der Annahme etwas Falsches gefolgert, was aber nicht bei wahrer Annahme möglich ist, was man kurz auch Widerspruch nennt.

EDIT Da hatte zwischenzeitlich jemand dieselbe Idee zum Schulniveau

10.12.2024, 20:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Aber geht es nicht auch ohne Induktion:

Annahme ---> tan ( 2 grad)= (2 tan(1 grad))/(1-tan^2(1 grad)) ist rational ---->

tan ( 4 grad)= (2 tan(2 grad))/(1-tan^2(2 grad)) ist rational ---->
tan ( 8 grad)= (2 tan(4 grad))/(1-tan^2(4 grad)) ist rational ---->
tan ( 16 grad)= (2 tan(8 grad))/(1-tan^2(8 grad)) ist rational ---->
tan ( 32 grad)= (2 tan(16 grad))/(1-tan^2(16 grad)) ist rational ---->

tan ( 30 grad)= tan (32 grad -2 grad) = ... ist rational unglücklich

Nun ja, das empfinde ich nicht kürzer, sondern vielfach länger als meine Variante. Teufel

Es geht hier doch nicht um den Wettbewerb "wer schafft es mit möglichst wenig Additionstheorem-Schritten"...

11.12.2024, 10:54

Elvis

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@Dopap: Unsere Schule trägt den schönen Namen Ernst-Abbe-Gymnasium, der auch nicht ganz ungewöhnlich ist. Ernst Abbe (1840-1905) war auch Professor in Jena, viel bedeutender für die Mathematik war m.E. Gottlob Frege (1848-1925), der mit seiner "Begriffsschrift" die Grundlagen der modernen Aussagenlogik und Prädikatenlogik gelegt und diese u.a. auf die Grundlagen und Grundgesetze der Arithmetik angewandt hat. Abbe hat Frege nicht verstanden, damit war er nicht der Einzige, der mit moderner Logik nicht viel anfangen konnte. Mit etwas gutem Willen ist Frege auch heute noch leicht lesbar, obwohl seine Schreibweise zunächst etwas gewöhnungsbedürftig ist. Sehr zu empfehlen: Matthias Wille "Gottlob Frege: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildeten Formelsprache des reinen Denkens", Springer Spektrum, Berlin 2018. Wenn man dann noch Freges Werke zur Arithmetik studiert, kann man den läppischen Einwand von Bertrand Russell historisch besser einordnen, obwohl sich dieser mit seiner Antinomie tief ins allgemeine Gedächtnis eingegraben hat.

11.12.2024, 13:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
Abbe hat Frege nicht verstanden, damit war er nicht der Einzige, der mit moderner Logik nicht viel anfangen konnte.

Vermutlich hat er sich auch gar nicht ernsthaft drum bemüht, weil er es für seine Ziele (im engen Kontakt zur Industrie die Strahlenoptik auf eine saubere theoretische Grundlage zu stellen) als völlig belanglos angesehen hat. Augenzwinkern

11.12.2024, 14:33

Elvis

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Das ist wohl so, und Carl Zeiss und alle Zeissianer waren ihm lebenslang dankbar und haben ihm ihr Loblied gesungen. smile

11.12.2024, 22:07

HAL 9000

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Naja, ich seh schon dass Frege bei dir höher im Ansehen steht als Abbe. Bei mir ist es umgekehrt, was auch daran liegt, dass mich dieses Logik-Gedöns eher langweilt - auch wenn ich anerkenne, dass es im Gesamtgebäude der Mathematik sicher wichtig ist. Außerdem habe ich regional bedingte Gründe. Augenzwinkern

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