Isomorphismus der Zeigerdarstellung

15.12.2024, 10:56	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus der Zeigerdarstellung Hallo Angenommen $\begin{eqnarray} \omega \in \mathbb{R}_{+}^{\times} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist der $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ -Vektorraum der Funktion $\begin{eqnarray} a \cdot \sin(\omega t + \phi) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a,\phi \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f : a \cdot \sin(\omega t + \phi) \mapsto ae^{i \phi}, a \geq 0 \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus. Ich hatte das kürzlich gelesen (ohne Beweis) und wollte das nun beweisen, indem ich der Reihe nach zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \cdot \sin(\omega t + \phi) \mapsto ae^{i \phi}, a \geq 0 \end{eqnarray}$ . Erstens linear ist, zweitens injektiv und drittens surjektiv. Dass die Funktion linear ist, konnte ich zeigen. Die Injektivität habe ich auch zeigen können. Angenommen $\begin{eqnarray} f(a \cdot \sin(\omega t + \phi)) = 0 \end{eqnarray}$ , dann bleibt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} a \cdot \sin(\omega t + \phi) = 0 \end{eqnarray}$ ist. Die Annahme impliziert nun $\begin{eqnarray} ae^{i \phi} = 0 \end{eqnarray}$ und das ist der Fall, wenn $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ ist, dann ist aber auch $\begin{eqnarray} a \cdot \sin(\omega t + \phi) = 0 \end{eqnarray}$ , was zu zeigen war. Das heißt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist injektiv. Bei der Surjektivität bin ich mir nicht sicher, wie man das genau zeigen kann. Reicht es hier schon aus für jedes $\begin{eqnarray} ae^{i \phi} \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ , das Urbild $\begin{eqnarray} a \cdot \sin(\omega t + \phi) \in V \end{eqnarray}$ zu definieren? Ich freue mich auf eure Antworten!
17.12.2024, 11:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sehr großzügig darüber hinweg sieht, dass $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ nicht isomorph sind, kann aus dem Beweis etwas werden. Ich bin anfangs darüber gestolpert, dass ich mir keinen nichttrivialen Vektorraum einer Funktion vorstellen kann, deshalb habe ich ein paar Tage gebraucht um zu erkennen, dass du Funktionen (Plural !) meinst, also kann ich erst jetzt antworten. Ist das wirklich ein Vektorraum und ist f wirklich linear ? Der Beweisteil für die Injektivitaet überzeugt nicht ganz, weil auch der Winkel eindeutig sein muss (oder nicht ?).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »