Strategie für Matrix-Spiel?

17.12.2024, 05:15

Dopap

Strategie für Matrix-Spiel?

hier ein Rechteck-Spiel, beispielhaft anhand einer Sudoku Matrix (oder gerne auch kleiner)
$\begin{eqnarray*} a_{ij} = \begin{cases} -1 & \text{für } i,j=1 \\ 10i+j & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
d.h der Inhalt ist gleich dem Index. 2 Spieler wählen abwechselnd ein Feld $\begin{eqnarray*} a_{ij} \geq 0 \end{eqnarray*}$ aus und setzen damit
automatisch alle Felder $\begin{eqnarray*} a_{kl} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \geq i ~~\land ~~l \geq j \end{eqnarray*}$ auf Null.

Beispiel:

a1: Spieler A wählt $\begin{eqnarray*} a_{47} \end{eqnarray*}$ aus und anschließend
b1: Spieler B wählt $\begin{eqnarray*} a_{83} \end{eqnarray*}$ aus,

mit dem Ergebnis
$\begin{eqnarray*} \definecolor{oma}{rgb}{.7,.5,.7}<br /> \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \color{oma}-1 &12&13&14&15&16&17&18&19\\ \hline 21&22&23&24&25&26&27&28&29 \\\hline 31&32&33&34&35&36&37&38&39 \\ \hline 41&42&43&44&45&46&0&0&0 \\ \hline 51&52&53&54&55&56&0&0&0 \\ \hline 61&62&63&64&65&66&0&0&0 \\ \hline 71&72&73&74&75&76&0&0&0 \\ \hline 81&82&0&0&0&0&0&0&0 \\ \hline 91&92&0&0&0&0&0&0&0 \\\hline\end{array} \end{eqnarray*}$

und so weiter mit a2 b2 a3 b3 a4 ... bis es keine $\begin{eqnarray*} a_{ij} > 0 \end{eqnarray*}$ mehr gibt.
Verloren hat, wer nicht mehr ziehen kann, oder
gewonnen hat der Spieler mit dem letzten Zug.
Sehe hier keine Gewinnstrategie wie z.B beim Nim Spiel .
Kann man das Spiel dem Computer beibringen evtl. mit neuronalem Netzwerk?

17.12.2024, 08:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
2 Spieler wählen abwechselnd ein Feld $\begin{eqnarray*} a_{ij} \geq 0 \end{eqnarray*}$ aus

Der sonstigen Spielbeschreibung nach ist hier sicher $\begin{eqnarray*} a_{ij}>0 \end{eqnarray*}$ gemeint, ansonsten geht das Spiel ewig. Augenzwinkern

Und das mit dem $\begin{eqnarray*} a_{ij} = 10i+j \end{eqnarray*}$ ist völlig unerheblich für die Strategie, es könnte auch einheitlich $\begin{eqnarray*} a_{ij}=1 \end{eqnarray*}$ sein. Aber vielleicht hast du es so gewählt, damit man beim Blick aufs Tableau keine Kästchen "zählen" muss. Big Laugh

EDIT: Soweit ich sehe, gibt es eine leichte Gewinnstrategie für A:

- Zunächst wählt A die 22, es verbleiben die positive Zeile 12-19 sowie die positive Spalte 21-91 .
- Wählt B nun 1n bzw. n1, so reagiert A mit n1 bzw. 1n

Der letzte Schritt wird bis zum Ende wiederholt - irgendwann ist n=2, was Sieg für A bedeutet.

EDIT2: Interessant wäre es noch für beliebige Restkonstellationen anzugeben, ob man als "Anziehender" noch den Sieg erzwingen kann - oder eben nicht.

Geklärt ist bisher (siehe oben):

Verlust: erste Zeile bis $\begin{eqnarray*} 1n \end{eqnarray*}$ und erste Spalte bis $\begin{eqnarray*} n1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ , sonst nichts.
Gewinn: erste Zeile bis $\begin{eqnarray*} 1n \end{eqnarray*}$ und erste Spalte bis $\begin{eqnarray*} n1 \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} 22 \end{eqnarray*}$ noch verfügbar.
Gewinn: erste Zeile bis $\begin{eqnarray*} 1n \end{eqnarray*}$ und erste Spalte bis $\begin{eqnarray*} m1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 2,m\geq 2,n\neq m \end{eqnarray*}$ , sonst nichts.

Weiterhin zu klären sind die übrig bleibenden Konstellationen

erste Zeile bis $\begin{eqnarray*} 1n \end{eqnarray*}$ und erste Spalte bis $\begin{eqnarray*} m1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 2,m\geq 2,n\neq m \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} 22 \end{eqnarray*}$ noch verfügbar.

Die splittern sich natürlich weiter auf - mit einer üblichen Backward-Untersuchung sollte man aber auch diese Fälle dann komplett aufschlüsseln können (mache ich jetzt nicht).

18.12.2024, 02:37

Dopap

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Zitat:

Original von HAL 9000
Und das mit dem $\begin{eqnarray*} a_{ij} = 10i+j \end{eqnarray*}$ ist völlig unerheblich für die Strategie, es könnte auch einheitlich $\begin{eqnarray*} a_{ij}=1 \end{eqnarray*}$ sein. Aber vielleicht hast du es so gewählt, damit man beim Blick aufs Tableau keine Kästchen "zählen" muss. Big Laugh

Deine analytischen Fähigkeiten sind Legende. Profi eben Augenzwinkern

das mit dem:
2 Spieler wählen abwechselnd ein Feld $\begin{eqnarray*} a_{ij} \geq 0 \end{eqnarray*}$ aus
tut mir leid. Habe mir bei der post wirklich Mühe gegeben wie man z.B. an der Farbwahl für das Element $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ sehen kann:

code:
1: 2:	[latex] \definecolor{oma}{rgb}{.7,.5,.7} \begin{array}{\|c\|c\|c\|c\|c\|}\hline \color{oma}-1 &12&13&14&15&16&17&18&19\\ \hline

-------------------------------------------
das mit deinen Strategien geht klar, erinnern streckenweise an das Nim Spiel.
Aber nun Kern: irgendwann irgendwo ist das Spiel nicht neu und dabei brechen 2 Leute abwechselnd rechteckige Stücke aus eine Schokoladentafel wobei das entscheidende Eckstück vergiftet ist.
Leider kann ich mal wieder nichts dazu wiederfinden, da auch der Spielname fehlt und man kann sich gut vorstellen was google beim Begriff "Schokoladenspiel" interessantes anbietet.
Hängengeblieben ist noch: Man kann beweisen dass es eine Gewinnstrategie gibt, diese aber nicht angeben ... ( Wahrscheinlich beim allgemeinen Start einer angefressenen Tafel verwirrt

)

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