Konsistenter, aber inkorrekter Kalkül |
| 26.12.2024, 19:58 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Konsistenter, aber inkorrekter Kalkül Meine Idee wäre, beim Hilbert-Kalkül zusätzlich zu dessen logischen Axiomen das negierte Leermengenaxiom („Es gibt keine leere Menge“), kurz KL, herzunehmen. Dann gilt . Der Kalkül dürfte auch konsistent sein. Aber natürlich ist KL falsch, denn in der Standardmathematik wird die Existenz der leeren Menge als wahr angenommen, weil man sie einfach als solche definieren kann, also . Was meint ihr, klappt das so? |
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| 26.12.2024, 20:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das klappt natürlich nicht. Es gibt keine absolute Wahrheit. In der euklidischen Geometrie gilt ein Parallelenpostulat PE. In der hyperbolischen Geometrie gilt ein Parallelenpostulat PH. PE und PH widersprechen sich gegenseitig. In ZFC gibt es eine leere Menge. In einer Mengenlehre ohne leere Menge gibt es keine leere Menge. Hilbert hat damit gar nichts zu tun, und der Mathematik schadet das in keiner Weise. |
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| 27.12.2024, 20:28 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das sind alles Kalküle, von denen du sprichst. Die haben nichts mit Wahrheit zu tun. Wahr ist, dass es eine leere Menge gibt, weil wir sie definieren können. Falsch ist, dass es keine leere Menge gibt, eben weil wir sie definieren können. Wenn ein Kalkül (in der Sprache Prädikatenlogik mit und höher) keine leere Menge hätte, d.h. alle Mengen sind nicht leer, dann wäre er mE inkorrekt. |
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| 27.12.2024, 20:50 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Dedekind-Peano-Kalkül der Arithmetik (PA) ist ein PL1-Kalkül mit Axiomen, die als wahre Aussagen über natürliche Zahlen interpretiert werden. Von Mengen ist da nicht die Rede, und wenn 1 die kleinste natürliche Zahl ist, dann kann man mit diesem Kalkül nicht über die leere Menge sprechen. Übrigens hast du angefangen, über Kalküle zu reden, und die haben zunächst einmal nichts mit der leeren Menge oder irgendwelchen empirisch existierenden Objekten zu tun. ZF ohne das Axiom der leeren Menge ist widerspruchsfrei, wenn ZF widerspruchsfrei ist. Beweis: trivial. Also gibt es eine Mengenlehre ohne leere Menge. (Jedenfalls glaube ich ungeprüft, dass das Axiom der leeren Menge nicht aus den anderen Axiomen von ZF folgt. Wenn doch, machen wir ZF noch ein bisschen kleiner.) Nachtrag: Das Axiom der leeren Menge ist laut Wikipedia in ZF entbehrlich, d.h. es folgt aus anderen Axiomen von ZF. Vielleicht werden wir die leere Menge als Menge los, wenn wir stattdessen ZFU nehmen, wo ein Urelement ist. Ob es die leere Menge gibt oder nicht gibt und was die leere Menge ist, ist eine philosophische Frage und eine Frage der Mathematik. Kalküle und ihre Axiomensysteme entscheiden nicht über Wahrheit oder Falschheit von Aussagen und im besonderen nicht über Sein oder Nichtsein von Objekten. |
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| 28.12.2024, 14:41 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hurra, wir haben endlich einen Gottesbeweis. 
Jesus ist Gottes Sohn. Wir definieren Gott als Vater von Jesus. Also können wir Gott definieren. Wahr ist, dass es Gott gibt, weil wir ihn definieren können. 
Falsch ist, dass es Gott nicht gibt, eben weil wir ihn definieren können. 
(Und Elfen und Einhörner gibt's gratis dazu. 
) |
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| 28.12.2024, 15:12 | laila49 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
angeblich hat ein Mathematiker, der im Auto auf eine belebte Kreuzung zu fuhr, ausgerufen : "ich definiere; rechts ist frei!" und fuhr mit Vollgas auf die Kreuzung zu. Das war dann seine letzte Definition |
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| 28.12.2024, 15:37 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gottlob Frege - einer meiner liebsten Logiker - hat sich in seiner "Begriffsschrift" mächtig aufgeregt über Richard Dedekind - einer meiner liebsten Zahlentheoretiker - weil R. und Konsorten nach G.s Meinung mathematische Objekte schon durch einfache Definition ins Dasein und Sosein und ins Sein-an-sich rief. Jede MathematikerIn hat, wenn er oder sie nicht gerade arbeitet, eine eigene Philosophie und speziell eine eigene Ontologie mathematischer Objekte und Wahrheiten und was es nicht alles sonst noch "gibt", wobei wir uns über das Wort "gibt" seit der Erfindung der Sprache nicht einig werden können. Während der mathematischen Arbeit glauben wir ganz fest an die Dinge, über die wir nachdenken, in der Freizeit bezweifeln wir Alles (auch Autos von rechts). |
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| 28.12.2024, 21:31 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein ganz einfaches Beispiel für einen (widerspruchsfreien ?) inkorrekten Kalkül ist PA für die ganzen Zahlen. Grund: Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger. |
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| 28.12.2024, 21:52 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nochmal und verbessert: Wir nehmen den Hilbert-Kalkül H mit dem Zusatzaxiom: . Dieser Kalkül ist konsistent, denn Hilbert ist konsistent und die eine Zusatzannahme dürfte nichts anrichten (wir gehen einfach mal davon aus). Es gilt also H, . Gilt aber auch H, ? Nun gibt es ja nur zwei Möglichkeiten: entweder ist wahr oder ist wahr. Im ersten Fall hätten wir einen konsistenten Hilbert-Kalkül, der wegen einer falschen Prämisse/Axiom trivial korrekt wäre, d.h. ja es gilt H, , aber das Gefolgerte wäre natürlich trotzdem falsch. Im zweiten Fall könnten wir einfach H mit kombinieren; das Ergebnis wäre analog gleich. Wir können also festhalten: ein konsistenter Kalkül ist immer auch ein korrekter Kalkül im Sinne von , aber eine bewiesene Formel daraus kann trotzdem falsch sein, d.h. Konsistenz schützt nicht vor Falschem! Ist das so richtig? |
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| 29.12.2024, 00:06 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich verweise nur kurz auf dieselbe im parallelen Forum laufende Diskussion von Pippen zu diesem Thema und bin dann auch schon wieder raus aus dem Thema. |
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| 29.12.2024, 08:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Pippen Warum fragst du immer wieder, ob das richtig ist? Du weißt, dass es falsch ist. Ein konsistenter Kalkül H, der keine Aussage zur leeren Menge macht, bleibt konsistent, wenn man ein Axiom dazunimmt, dass die Existenz der leeren Menge fordert oder negiert. Eine Interpretation von H ergibt ein Modell für H. Beide Erweiterungen von H kann man dann interpretieren, indem man das Modell von H betrachtet und einmal die leere Menge als Menge (ZF) und einmal als Urelement (ZFU) interpretiert. Beide Interpretationen sind korrekt. Nur wer, so wie du es hier absichtlich machst, den Kalkül mit nicht existenter leerer Menge falsch interpretiert, bekommt eine unkorrekte Interpretation. Exakt das gleiche Prinzip trifft auf PA und N bzw. PA und Z zu. Konsistenter Kalkül mit korrekter Interpretation ist korrekt, konsistenter Kalkül mit inkorrekter Interpretation ist inkorrekt. Wie oft muss man noch wiederholen, dass Wahrheit kein syntaktischer sondern ein semantischer Begriff ist? Allmählich müsste es doch auch der allerletzte Mensch begriffen haben. (Lustigerweise hast du selbst deinen Gesprächspartner im anderen Forum darauf hingewiesen. Dort weißt du es und hier nicht ?) |
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| 29.12.2024, 21:36 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich beweise ja anhand eines Beispiels, dass es konsistente Kalküle (die immer auch korrekt sind) gibt, die falsche Folgerungen produzieren, d.h. und ist eine falsche Aussage. Wo genau geht meine Überlegung fehl und wie? 1. Wir nehmen den Hilbert-Kalkül H mit dem Zusatzaxiom: . 2. Dieser Kalkül ist konsistent, denn Hilbert ist konsistent und die eine Zusatzannahme dürfte nichts anrichten (wir gehen einfach mal davon aus). 3. Es gilt also H, . 4. Gilt aber auch H, ? 5. Nun gibt es ja nur zwei Möglichkeiten: entweder ist wahr oder ist wahr. 6. Im ersten Fall hätten wir einen konsistenten Hilbert-Kalkül, der wegen einer falschen Prämisse/Axiom trivial korrekt wäre, d.h. ja es gilt H, , aber das Gefolgerte wäre natürlich trotzdem falsch. 7. Im zweiten Fall könnten wir einfach H mit kombinieren; das Ergebnis wäre analog gleich. |
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| 30.12.2024, 07:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Falsch: Widerspruchsfreie Kalküle sind nicht immer korrekt. Es gibt widerspruchsfreie Kalküle, die bei geeigneter Interpretation korrekt sind. Ändert man einen widerspruchsfreien Kalkül, kann er zu einem widerspruchsfreien oder zu einem widersprüchlichen Kalkül werden. Ändert man die Interpretation, kann man zu einem korrekten oder zu einem inkorrekten formalen System kommen. Dein Beispiel ist sehr schlecht gewählt, weil es keinen eindeutig bestimmten Hilbertkalkül gibt und du nicht klar machen kannst, über welchen Kalkül du redest. Dein Beispiel ist falsch, weil du eine absolut wahre Aussage postuliert hast, nämlich die Existenz der leeren Menge. In einem formalen System gibt es einen syntaktischen Kalkül, in dem Beweise durch Ableitungen und logische Schlussregeln geführt werden. Darüber hinaus gibt es eine semantische Interpretation, die formale Aussagen des Kalküls auf Wahrheitswerte abbildet. Zur Beweistheorie gehört notwendig, dass man jeweils Kalkül und Interpretation exakt benennen kann, weil sonst nur Geschwätz entsteht (siehe obiges Zitat). |
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| 30.12.2024, 08:32 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sehr viel durchsichtiger wäre dein Versuch gewesen, wenn du statt mit einem Hilbertkalkül mit dem leeren Kalkül (keine Axiome, keine Schlussregeln) angefangen hättest. a) Das Axiom "Die leere Menge existiert." Ist widerspruchsfrei. Nimm die heute übliche Mengenlehre, dann ist das eine wahre Aussage, also das formale System korrekt. Nimm Fraenkels Mengenlehre mit Urelementen, dann ist das eine falsche Aussage, also das formale System inkorrekt. b) Das Axiom "Die leere Menge existiert nicht." ist widerspruchsfrei. Nimm die heute übliche Mengenlehre, dann ist das eine falsche Aussage, also das formale System inkorrekt. Nimm Fraenkels Mengenlehre mit Urelementen, dann ist das eine wahre Aussage, also das formale System korrekt. Ähnlich durchsichtige Vorschläge habe ich dir schon reichlich gemacht, es könnte sinnvoll sein, wenn du mal über gute Beispiele nachdenkst statt immer nur Haare in der Suppe zu suchen, wo weder Suppe ist noch Haare sind. Wenn das dein guter Vorsatz für das Neue Jahr wird, dann wünsche ich dir einen guten Rutsch. |
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| 30.12.2024, 15:04 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, gerade weil das Axiom falsch wäre, wäre das System (trivial) korrekt. Das ist ja gerade meine Frage: Können wir ausschließen, dass konsistente Kalküle inkorrekt sind? ME ja. Können wir ausschließen, dass konsistente und korrekte Kalküle uns falsche Aussagen beweisen? ME nein. Gib doch mal ein einfaches Beispiel für einen konsistenten, aber inkorrekten, Kalkül. Wie geschrieben, dein Beispiel klappt schonmal nicht. Zustimmen tust du mir ja offenbar, dass konsistente Kalküle falsche Aussagen beweisen können, wie dein Beispiel ja zeigt. |
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| 30.12.2024, 15:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein Axiom kann nicht falsch sein, denn ein Axiom ist keine Aussage sondern eine syntaktische Formel. Die Interpretation bestimmter Formeln sind Aussagen, und die können wahr oder falsch sein. Wenn du meine Beispiele nicht verstehst, kann ich dir nicht helfen. Auf völlig verdrehte Art scheinst du auch noch Aussagenlogik mit Interpretation von Formeln zu vermischen, wenn du ein formales System als trivial korrekt bezeichnest. Ein konsistentes und korrektes formales System ist selbstverständlich nicht inkorrekt, weil es korrekt ist. Die Definition enthält, dass man damit keine falsche Aussage beweisen kann. Das war aber nicht deine Frage, eine so dumme Frage kann man gar nicht stellen. Deine (erste) Frage war, ob ein widerspruchsfreier Kalkül (genauer: ein formales System mit widerspruchsfreiem Kalkül) inkorrekt sein kann. Das heißt, der Kalkül ist widerspruchsfrei, und es gibt eine beweisbare (= formal ableitbare) Formel, deren Interpretation (also die zugehörige Aussage) den Wahrheitswert falsch hat. [Zwei meiner letzten Beispiele sind widerspruchsfrei und korrekt, zwei sind widerspruchsfrei und inkorrekt.] |
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| 31.12.2024, 21:43 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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| 02.01.2025, 11:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In dem anderen Forum redest du zusätzlich zu widerspruchsfreiem Kalkül und korrektem/inkorrektem formalen System, was ja von der Interpretation abhängig ist, auch noch von Modellen. Ich rate dir, dich erst einmal mit den einfachen Begriffen vertraut zu machen bevor du dich in die Abgründe der Modelltheorie stürzt. Für mich ist das jedenfalls noch zu hoch, aber ich befasse mich ja auch erst 50 Jahre lang mit mathematischer Logik und Beweistheorie. |
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| 02.01.2025, 18:44 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich finde dein Beispiel gut, also nehmen wir das. K sei der Kalkül mit dem Axiom der Existenz der leeren Menge, das Axiom selbst bezeichnen wir mit a. Gilt K a? Ja. Ist K widerspruchsfrei? Ja, es gibt ja nur eine Ableitung überhaupt (a), obwohl es viele andere wff gibt, die eben nicht ableitbar sind, ein sicheres Zeichen für Widerspruchsfreiheit. Ist K korrekt? Korrektheit meint meines Wissens, dass das, was in K ableitbar ist, also a, auch semantisch folgt, also K a, d.h. alle Modelle von K, also alle Fälle, wo a wahr ist, sind auch Modelle von a, da ist also a immer wahr. Ja, das ist so. Dass a in anderen Modellen falsch ist, spielt hier keine Rolle. Es ist also falsch, dass K inkorrekt sein kann! Das habe ich begriffen. Aber ich habe trotzdem recht. Und der Satz findet sich in Hoffmann‘s Grenzen der Mathematik in 2.3: Nicht jeder widerspruchsfreie Kalkül ist korrekt. Hoffmann‘s Beispiel ist aber unbefriedigend, denn der schraubt an den Schlussregeln. Es scheint demnach zu gelten, dass ein konsistenter Kalkül mit logisch korrekten Schlussregeln, zB nur mp, doch immer korrekt sein könnte. [attach]58049[/attach] |
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| 02.01.2025, 20:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auch hier bringst du wieder formale Systeme und Logik und Modelle durcheinander. Modelle für logische Systeme sind etwas ganz anderes als Modelle für formale Systeme. Ich hatte nicht ohne Grund gewarnt, von Modellen zu sprechen. Wenn du das unbedingt willst, musst du ganz von vorne anfangen und alle Begriffe sauber definieren. Das ist sehr schwer und füllt dicke Bücher. K ist widerspruchsfrei, das ist klar, denn ein Axiom a="Die leere Menge existiert." kann sich nicht selbst widersprechen. Die Aussage I(a)='Die leere Menge existiert.' ist ein Satz der deutschen Sprache, und diese Aussage, also die Interpretation von a, ist genau dann wahr, wenn die leere Menge existiert. (So hat Tarski Wahrheit definiert: 'p' ist genau dann wahr, wenn p. Beachte, dass Tarski nicht über die Formel "p" spricht, denn er hat mit formalen Systemen nichts am Hut. Tarski war Logiker und spricht über Aussagen und Wahrheit.) Wo existiert die leere Menge? In der Mengenlehre, die durch ZF axiomatisiert wird oder auch in der naiven Mengenlehre. I1=I(a) ist also in der naiven Mengenlehre wahr, also (K,I1) korrekt. In der Mengenlehre ist I(a) ein Modell für a. Wo existiert die leere Menge nicht? Bei mir im Wohnzimmer gibt es keine leere Menge, in der Menge der natürlichen Zahlen {1,2,3,...} gibt es keine leere Menge und in vielen anderen mathematischen Theorien auch nicht. I2=I(a) ist also bei mir im Wohnzimmer falsch, also (K,I2) inkorrekt. In meinem Wohnzimmer ist I(a) kein Modell für a. Dass auch bei Hoffmann der Satz zu finden ist, 'Nicht jeder widerspruchsfreie Kalkül ist korrekt.' ist klar, denn dies ist ein Buch über formale Systeme, und da darf dieser Satz nicht fehlen. An welchem Beispiel er ihn beweist, kann uns egal sein. |
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| 03.01.2025, 22:04 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, wir haben geklärt, dass K konsistent ist. Das war ja auch einfach. Zur Erinnerung: K hat nur ein Axiom a: es gibt keine leere Menge (natürlich als wff der Prädikatenlogik, ich bin nur zu faul, die Formel genau aufzuschreiben) und nur eine Schlussregel, nämlich dass das Axiom folgt, so dass gilt und nur gilt: K |- a. Ist nun K korrekt, d.h. ? Ich sage ja. Denn Korrektheit meint meines Wissens, dass das, was in K ableitbar ist, also a, auch semantisch folgt, also K a, d.h. alle Modelle von K, also alle Fälle, wo a wahr ist, sind auch Modelle von a, da ist also a immer wahr. Ja, das ist trivial so. Dass a in anderen Modellen falsch ist, spielt überhaupt keine Rolle. Es ist also falsch, dass K inkorrekt sein kann! Siehst du das jetzt auch so? Das wird nicht klar. Oder wo genau mache ich einen Fehler? Bleiben wir erstmal genau an diesem Punkt…und machen dann weiter, sonst komme ich durcheinander. |
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| 04.01.2025, 08:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du irrst und verstehst nicht, was ich geschrieben habe. Nach deiner falschen Argumentation ist auch der folgende Kalkül G widerspruchsfrei und korrekt. Axiom von G: "Gott existiert" Wir sind uns einig, dass dieser Kalkül widerspruchsfrei ist. Du glaubst, dass dieser Kalkül korrekt ist, also existiert Gott. Ich glaube, dass Gott ein sinnvoller Begriff in Religionen ist, jeder Atheist weiß, dass Gott nicht existiert oder tot ist. Wenn du recht hast, haben wir einen Gottesbeweis. Alle Menschen (außer ein paar religiösen Spinnern) sind sich einig, dass es keinen logischen Gottesbeweis geben kann. Der einzig mögliche Gottesbeweis besteht darin, dass Gott zu uns kommt und beweisen kann, dass er allmächtig ist und die Welt in 7 Tagen geschaffen hat. Das muss man ihm aber auch nicht glauben, also kann nicht einmal Gott einen Gottesbeweis führen. Glaubst du wirklich, dass du mehr kannst als Gott? Wenn du das glaubst, dann glaubst du, dass Gott nicht allmächtig ist, also nicht existiert. Kurz gesagt: G ist korrekt, wenn Gott existiert. G ist inkorrekt, wenn Gott nicht existiert. K ist korrekt, wenn die leere Menge existiert. K ist inkorrekt, wenn die leere Menge nicht existiert. Wo genau machst du einen Fehler? Du hast die Definition "korrektes formales System" nicht verstanden. Deshalb wird bei dir jeder widerspruchsfreie Kalkül, der ein Modell hat, ein korrektes formales System. Tipp: Rede nicht über Modelle, die du nicht verstehst. Lerne zuerst einmal, wie Kalkül und Interpretation und Wahrheit zusammenhängen. Das kann man bei Hoffmann sehr gut studieren, aber oberflächliches Lesen genügt auch bei dem besten Lehrbuch nicht. |
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| 04.01.2025, 09:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein Axiom "a" kann nicht wahr oder falsch sein, weil ein Axiom keine Aussage ist sondern eine Formel. Die Interpretation 'a' des Axioms "a" ist eine Aussage. Wenn 'a' wahr ist, heißt 'a' ein Modell von "a". Nach Tarski ist 'a' genau dann wahr, wenn a. Wenn 'a' falsch ist, dann ist 'a' kein Modell von "a". Die Sprechweise, ein Axiom a sei in einem Modell wahr oder falsch, ergibt keinen Sinn. Man sagt vielmehr, dass die Interpretation eines Satzes eines Kalküls in einer Theorie wahr oder falsch ist. Axiome passen in diese Sprechweise, weil jedes Axiom ein Satz ist. |
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| 04.01.2025, 20:35 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Elvis, bleib hart an der Fragestellung. Ich habe meine Argumentation nochmal angepasst, so dass du nun sehen solltest, dass du falsch liegst: Zur Erinnerung: K hat nur ein Axiom a: es gibt keine leere Menge (natürlich als wff der Prädikatenlogik, ich bin nur zu faul, die Formel genau aufzuschreiben) und nur eine Schlussregel, nämlich dass das Axiom folgt, so dass gilt und nur gilt: K |- a. K ist konsistent. Darüber besteht zwischen uns Einigkeit. Ist nun K korrekt, d.h. ? Ich sage ja. Denn Korrektheit meint meines Wissens, dass das, was in K ableitbar ist, also a, auch semantisch folgt, also K a, d.h. alle Modelle von K, also alle Fälle, wo a als wahr interpretiert wird, sind (trivial) auch Modelle von a, da ist also a immer als wahr interpretiert. Warum? Weil die einzige Schlussregel lediglich die Wahrheit überträgt. Dass a auch als falsch interpretiert werden kann, erfüllt ebenfalls diese Bedingung; das ist ein Fall der sog. leeren Wahrheit. Es ist also falsch, dass K inkorrekt sein kann! Und jetzt setze ich eins drauf und zeige dir einen konsistenten aber inkorrekten Kalkül! Nämlich der gleiche Kalkül wie oben, nur lautet die Schlussregel jetzt: negiere das Axiom. Damit gilt K |- ~a. Und wenn wir o.g. Definition der Korrektheit daran messen, dann ist dieser konsistente Kalkül inkorrekt. Wir erkennen schnell als Korollar: Wenn ein Kalkül konsistent ist und valide Schlussregeln hat, die also Wahrheit nur transportieren bzw. die aussagenlogisch Tautologien sind, dann ist jeder konsistente Kalkül auch korrekt. p.s. Du irrst übrigens, wenn du glaubst, dass die Beweise korrekter Kalküle wahre Aussagen sein müssen. So interpretiere dich dein Gottesbeispiel. Das ist nicht so! Die Korrektheit des Kalküls stellt nur sicher, dass WENN seine Prämissen wahr sind, dann auch die Ableitung. Mehr nicht! |
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| 04.01.2025, 20:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe genug gesagt. ENDE. |
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| 04.01.2025, 21:04 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hast du nicht. Nicht einmal hast du genau gezeigt, wo ich falsch liegen soll. Ich habe sogar meine Formulierung an deine unnötigen Verkomplizierungen mit Modell/Interpretation angrpasst (die es hier eigentlich gar nicht bedarf, es reicht vereinfacht von a‘s Wahrheit zu sprechen). Du schwurbelst mehr rum als konstruktive Kritik zu üben, leider. |
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| 08.01.2025, 07:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auf Matheplanet irrst du immer weiter. Konstruktive Kritik ganz ohne Geschwurbel: 0=1 ist falsch in den natürlichen Zahlen, also der Kalkül inkorrekt. 0=1 wird als wahr definiert im Nullring und in der Einsgruppe, also sind diese Kalküle korrekt, wenn es eine leere Menge gibt. Dein Korollar ist falsch, weil du Kalküle mit Tautologien verwechselst. Ein formales System kann keine Tautologie sein, weil eine Formel keinen Wahrheitswert hat, insbesondere haben Axiome und bewiesene Sätze keinen Wahrheitswert. Aussagen haben Wahrheitswerte, aber Kalküle kennen keine Aussagen, nur Formeln. |
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| 09.01.2025, 06:33 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1. Ich finde es ein bisschen albern, einen "konsistenten" Kalkül zu formulieren, der so offensichtlich "inkorrekt" ist, weil die Formeln des Kalküls widersprüchliche Aussagen der Mengenlehre sind. 2. ist immer noch genau so falsch wie gestern. Gegenbeispiel: Euklids Parallelenaxiom in Gauß hyperbolischer Geometrie. |
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| 09.01.2025, 23:29 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zunächst als Referenz nochmal die genaue Beschreibung & meine Analyse des Kalküls, damit wir nicht aneinander vorbeireden: Ein Kalkül K habe nur und ausschließlich das Axiom (das Leermengenaxiom aus ZFC). In K gelte die Schlussregel (und nur diese): K 0 = 1. Dann gilt also K und K 0 = 1. Keine weitere Formel ist in K beweisbar, weil alles außer dem eben Genannten unzulässig wäre. 1. K ist konsistent. Denn nach der Definition der Konsistenz setzt diese nur voraus, dass wir im Kalkül eine Formel nicht ableiten können - und wir können in K zB nicht die Negation des Axioms ableiten. 2. K ist inkorrekt, denn wann immer wir als wahr annehmen, folgt 0 = 1 und das ist in mindestens einer Interpretation falsch. K 0 = 1 gilt aber nur wenn alle Modelle von K auch solche von 0 = 1 sind, was offenbar nicht der Fall ist.
…und damit ist K insgesamt inkorrekt. Nur wenn 0 = 1 immer wahr wäre, wenn auch die leere Menge existierte, wäre K korrekt, aber wie du richtig schreibst, gibt es unter dem Leermengenaxiom zig Interpretationen, wo 0 = 1 falsch wird, zB die der nat. Zahlen.
Die Korrektheit eines Kalküls korreliert mit Tautologien. Denn K gdw. wenn K eine Tautologie (K meint hier natürlich die Formeln aus K). Weil Tautologien nur die Wahrheit übertragen, kann genau der eine Fall nie vorkommen, nämlich dass K‘s Formeln wahr sind, aber das Gefolgerte falsch…und nur das schließt die Korrektheit bzw. K aus. Es mag sein, dass mein Kalkül albern ist, aber es geht mir nur darum formal technisch zu beweisen, dass ein konsistenter Kalkül inkorrekt sein kann - dazu muss ich nur ein Gegenbeispiel führen - und dass ein Kalkül mit validen Schlussregeln (die aussagenlogisch Tautologien sind) immer korrekt ist, völlig egal, ob er konsistent oder inkonsistent ist und was seine Axiome sind. Das Gegenbeispiel habe ich geführt und das Argument eines immer korrekten Kalküls bei validen Schlussregeln scheint mir sehr einsichtig. Oder fällt dir ein Gegenbeispiel ein? |
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| 10.01.2025, 07:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein Kalkül K ist widerspruchsfrei, wenn für alle Sätze a nicht auch die Negation von a abgeleitet werden kann. Übrigens sind auch alle Axiome Sätze. (Deine Sprechweise, ein Kalkül sei konsistent, wenn eine Formel nicht abgeleitet werden kann, ist weniger deutlich.) Ein formales System (K,U) mit einem Kalkül K und einer Menge U ist genau dann korrekt, wenn alle Sätze von K wahre Aussagen in U sind. U heißt dann ein Modell von K. Ein formales System (K,V) mit einem Kalkül K und einer Menge V ist genau dann inkorrekt, wenn ein Satz von K eine falsche Aussage in V ist. (Ein Kalkül ist nicht an sich korrekt oder inkorrekt sondern immer nur im Zusammenhang mit einer Interpretation der Sätze als Aussagen in einer Menge. Somit ist alles falsch, was du zu wissen glaubst. Sätze im Kalkül sind Formeln und keine Aussagen, also weder wahr noch falsch, deshalb gibt es von K zu U keine Tautologie.) Ergänzung: Formale Systeme wurden um 1900 verstärkt entwickelt und untersucht, um die mathematischen Theorien auf eine sichere Grundlage zu stellen. Dabei zeigt sich, dass widerspruchsfreie Kalküle K und korrekte Systeme (K,U) notwendig sind, um mathematische Theorien zu stützen: 1. In einem widerspüchlichen Kalkül tritt ein Satz A mit seiner Negation nonA auf, deren Interpretation führt zu einer falschen Aussage in einer Theorie. Damit wird alles in der Theorie wahr (ex falso quodlibet) und die Theorie damit unbrauchbar. 2. Ein inkorrektes System enthält einen Satz im Kalkül, dessen Interpretation in der Theorie falsch ist. Damit ist der Kalkül für die Theorie unbrauchbar, weil er Sätze beweist, die falsche Ausssagen liefern. Für mathematische Laien kann es so scheinen, als ob nur widerspruchsfreie und korrekte formale Systeme existieren. Daraus könnte man fälschlicherweise schließen, dass zwischen Kalkülen und Theorien ein logischer Zusammenhang besteht, dem ist aber nicht so. Wie in jeder mathematischen Theorie untersucht man auch in der Beweistheorie Systeme, die gegensätzliche Eigenschaften haben, weil man dadurch erst die Gesamtheit der Systeme begreifen kann. Also untersucht und kennt man auch widerspruchsfreie / widersprüchliche Kalküle, korrekte / inkorrekte formale Systeme, vollständige / unvollständige formale Systeme und vieles mehr. |
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| 10.01.2025, 21:40 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, mein K ist damit aber konsistent.
Das scheint nicht zu stimmen: https://de.wikipedia.org/wiki/Korrektheit_(Logik) Entscheidend für die Korrektheit von K ist NICHT ob alle Formeln aus K wahr sind, sondern ob WENN sie alle wahr sind, dann auch die Konklusion. Das ist wichtig; mein Beispiel funktioniert nur aus dieser Perspektive. Bei deiner Sicht wäre natürlich mein Kalkül inkorrekt.
Auch hier habe ich Bauchschmerzen. Ein Kalkül ist mE an sich korrekt oder inkorrekt unabhängig von der Interpretation. Das ergibt sich nahtlos aus o.g. Definition, die ich verwende. Ich werde mal das WWW auf Vorlesungsskripte durchforsten, wo das eindeutig und detailliert aufgeschlüsselt wird. Kann durchaus sein, dass ich mich irre, weil die ganzen technischen Details (Modell, Interpretation, Wahrheit,…) mich ablenken. |
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| 11.01.2025, 06:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meine Vermutung ist zum jetzigen Zeitpunkt, dass die Definitionen bei Wikipedia nicht von Fachleuten erstellt oder zu schlampig formuliert wurden. Insbesondere die Definition von "konsistent" erscheint mir völlig sinnlos. (Die Formel QWERTZ lässt sich in fast keinem Kalkül ableiten, also sind nach Wikipedia fast alle Kalküle konsistent, also fast alle logischen Kalküle widerspruchsfrei. Was ist ein "logischer" Kalkül ?) Wenn du deshalb in unlösbare Probleme geraten bist, dann ist das nicht deine Schuld, und wenn du durch Hilfe von Experten und eigene Recherche diese Probleme lösen kannst, dann gewinnst du enorm an Erkenntnis. Tipp: Frage einen Logiker oder eine Logikerin deines Vertrauens. Das Internet ist oft eine unzuverlässige Quelle, mit der man noch viel kritischer umgehen muss als mit Fachbüchern. |
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| 11.01.2025, 09:34 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich mit Google nach "Interpretation formaler Systeme" suche, komme ich sofort nach Wikipedia-Schwachsinn auf KIT - Karlsruher Institut für Technologie. Dort steht ein Vorlesungsskript "Formale Systeme, P.H.Schmitt, Winter 2013/2014, Version 25. November 2013" als pdf bereit. Das Inhaltsverzeichnis sieht sehr vielversprechend aus, weil es hinreichend viele verschiedene Logiken anspricht. Im Kapitel 4.3 Semantik der PL1 findet man den notwendigen Zusammenhang zwischen Kalkül, Interpretation und Modell. Von Schmitts Kollegen Wolfram Menzel, den er in seinem Vorwort erwähnt, habe ich Logik gelernt. Das Skript beruht auf Vorlesungen von Menzel und Schmitt aus den Jahren 1988-2001, das ist erstklassige Qualität. Weil auch Dirk W. Hoffmann an der Universität (TH) Karlsruhe studiert hat, ist unsere gemeinsame Sicht auf mathematische Logik für MathematikerInnen und InformatikerInnen nicht ganz zufällig. Nachtrag. Wenn konsistent und widerspruchsfrei für alle Kalküle äquivalent sind, wie Wikipedia behauptet, und wie ich es auch gelernt habe, denn das sind nur zwei gleichbedeutende Worte, dann braucht man für die Definition von Kalkülen in formalen Systemen keine Logik, denn der Begriff widerspruchsfrei ist rein syntaktisch definiert, hingegen hat Logik oft mit syntaktischen Schlussregeln und fast immer mit Wahrheit, also mit Semantik zu tun. |
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