Primzahlen und Modulo Quadratzahlen

06.01.2025, 00:43

Tarikilz77

Primzahlen und Modulo Quadratzahlen

Meine Frage:
Hallo liebe Forumhelfer smile

Ich hätte eine Frage zu meiner Aufgabe, wo ich leider nicht mehr weiterkomme. Ich würde mich sehr freuen, falls mir jemand hier behilflich sein könnte.
Das Problem lautet:
Für welche Primzahlen p ? 2 ist die Zahl 7 ein Quadrat modulo p.
Eine ganze Zahl a ist ein Quadrat modulo p, falls a kongruent einem Quadrat x^2 mod p ist. Jedoch ist für die Aufgabe meines Erachtens nach die ursprüngliche Definition eher irrelevant. Ich denke hier muss man mit den Legendre-Symbolen und der quadratischen Reziprozität arbeiten.

Meine Ideen:
Meine Ideen bisher: Zuerst sei p ? 2. Für das Legendre Symbol gilt in dem Falle
(7 / p) = - (p / 7)
denn der alternierende Faktor davor wird zu -1, denn die Potenz ist vereinfacht 3(p-1)/2 und hier isg p-1 gerade und 3 ungerade.
D.h. wir haben hier eine Antisymmetrie. Weiter weiss ich leider nicht unglücklich

06.01.2025, 13:01

Elvis

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Das quadratische Reziprozitätsgesetz liefert die Antwort : https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisc...t%C3%A4tsgesetz

07.01.2025, 14:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tarikilz77
Meine Ideen bisher: Zuerst sei p ? 2. Für das Legendre Symbol gilt in dem Falle
(7 / p) = - (p / 7)
denn der alternierende Faktor davor wird zu -1, denn die Potenz ist vereinfacht 3(p-1)/2 und hier isg p-1 gerade und 3 ungerade.

Da ziehst du die falschen Schlussfolgerungen. Richtig ist erstmal nach Reziprozitätsgesetz

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{7}{p}\right) = (-1)^{\frac{7-1}{2}\cdot \frac{p-1}{2}} \cdot \left( \frac{p}{7}\right) = (-1)^{3\cdot \frac{p-1}{2}} \cdot \left( \frac{p}{7}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \cdot \left( \frac{p}{7}\right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Aber wie kommst du darauf, dass der Term $\begin{eqnarray*} \frac{p-1}{2} \end{eqnarray*}$ immer ungerade sein soll? Für ca. die Hälfte aller Primzahlen $\begin{eqnarray*} p>2 \end{eqnarray*}$ ist das falsch. unglücklich

Wie geht es tatsächlich weiter? Zunächst mal stellt man fest, dass 1,2,4 die quadratischen Reste modulo 7 sind.

Darauf aufbauend kannst du in einer Liste alle ungeraden Reste $\begin{eqnarray*} p\equiv r\bmod 28 \end{eqnarray*}$ erfassen und für all die gemäß (*) prüfen, für welche $\begin{eqnarray*} \left( \frac{7}{p}\right) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn ich richtig gerechnet habe, müssten dass $\begin{eqnarray*} r=1,3,9,19,25,27 \end{eqnarray*}$ sein.

Als einzelner Sonderfall wäre noch $\begin{eqnarray*} p=7 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

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