Emergenz in der Mathematik |
| 07.01.2025, 13:39 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Emergenz in der Mathematik Was ich persönlich auch sehr spannend finde ist Emergenz, Thematisiert in Physik, Philosophie (und Andere) und auch Mathematik. Aber wenn ich so recherchiere im Netz, dann finde ich sehr wenig dazu. Meiner Meinung nach wird Emergenz unterschätzt in ihrer Wichtigkeit für das voranschreiten in den Natur- und Gedanken-Wissenschaften. "Mathematische Emergenz" könnte man aus iterativen Gleichungen schliessen, wie das Mandelbrot-Set. Oder auch Turing-Maschinen. Unter anderen "Conways Live of Game". Ich persönlich glaube auch daran dass es verschiedene Bewusstseins- und Selbstwahrnungs-Formen gibt und neuronale Netzte in der Lage sind solche gewisse, zu erlangen. Man könnten durch das Gebiet "Emergenz in der Mathematik" Thesen erarbeiten, die dies Prognostizieren. und in Zukunft, wenn wir genügend grosse neuronale Netze rechnen lassen können. Wird es auch falsifizierbar sein. Was meint ihr dazu? |
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| 07.01.2025, 16:03 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin da immer etwas hin- und hergerissen. Emergenz soll sein, wenn "sich die emergenten Eigenschaften des Systems nicht – oder jedenfalls nicht offensichtlich – auf Eigenschaften der Elemente zurückführen, die diese isoliert aufweisen." Ist es wirklich so? Man kann ja sehr wohl Conways Spiel aus den Einzelzellen verstehen, vielleicht nicht offensichtlich, aber es ist ja ganz klar deterministisch in den Einzelzellen angelegt. Genauso die Mandelbrotmengen. Wenn man sagt, Bewusstsein, oder Zeit sei ein emergentes Phänomen, dann heißt das für mich erst mal nur, dass es noch nicht genügend genug verstanden ist. Mir ist nicht recht klar, was der Begriff für einen Nutzen bringt. Genauso könnte man sagen, ein Buch sei ein emergentes Phänomen, denn aus einzelnen Worten kann man nicht ableiten, dass es spannende Geschichten gibt. Oder wie? |
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| 08.01.2025, 07:55 | G080125 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Emergenz (lateinisch emergere „Auftauchen“, „Herauskommen“, „Emporsteigen“) bezeichnet die Möglichkeit der Herausbildung von neuen Eigenschaften (Systemeigenschaften) oder Strukturen eines Systems infolge des Zusammenspiels seiner Elemente. Dabei lassen sich die emergenten Eigenschaften des Systems nicht – oder jedenfalls nicht offensichtlich – auf Eigenschaften der Elemente zurückführen, die diese isoliert aufweisen. So wird in der Philosophie des Geistes von einigen Philosophen die Meinung vertreten, dass das Bewusstsein eine emergente Eigenschaft des Gehirns sei. Emergente Phänomene werden jedoch auch in der Physik, Chemie, Biologie, Mathematik, Psychologie oder Soziologie beschrieben. Synonyme sind Übersummativität und Fulguration. Analog zur Emergenz spricht man bei der Eliminierung von Eigenschaften von Submergenz. Überlegungen zur Emergenz stammen vor allem aus den Diskussionen zur Systemtheorie und werden sowohl in den Naturwissenschaften als auch in der Philosophie und den Sozialwissenschaften verfolgt. Wie die Systemtheorie vertritt der Emergenzbegriff einen umfassenden Erklärungsanspruch, der emergente Selbstorganisation als durchgängiges Prinzip der materiellen Welt und der Welt des Geistes versteht. Das Phänomen der emergenten Selbstorganisation wird als Autopoiesis bezeichnet. |
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| 08.01.2025, 07:56 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Emergenz tritt meiner Meinung nach durchaus auch in der Mathematik auf. Viele Systeme sind einfach zu definieren und bringen erstaunlich komplexe Strukturen und Phänomene hervor, an die zu Anfang niemand gedacht hat. Die Zahlentheorie hat mit 1,2,3 und ein paar Gleichungen angefangen. Heute haben wir große Bibliotheken mit schwer verständlichen Büchern zur Zahlentheorie gefüllt. Dasselbe lässt sich auch über andere mathematische Theorien sagen. Fraktale sind aus mehr oder weniger komplizierten Rekursionen wie von selbst entstanden. Stephen Wolfram hat mit Mathematica die erstaunlichsten und völlig unerwartete Dinge zutage gefördert. Insgesamt kann man meinen, dass Mathematik nicht in ihrer Gesamtheit existiert und erforscht wird, sondern sich durch aufwendige Erforschung von einfachen Sachen emergent entwickelt. Und das geht immer so weiter, und wir können heute noch nicht wissen, in welche Richtungen das geht und was auf dem unendlich langen Weg noch alles entstehen wird. |
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| 10.01.2025, 11:14 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, du stellst die richtige Frage. Anscheinend wird unterschieden zwischen schwacher Emergenz und starker Emergenz. Schwache Emergenz ist wenn man aus den einfachen Regeln die Neuen Phänomene herleiten kann, oder man weiss, dass man es mit genügend Effort und Know-How dann herleiten könnte. Und starke Emergenz soll nicht herleitbar sein per se. Z.B. Bewiesen durch moderne Komplexitätstheorien... Man weiss aber bis heute nicht, ob es "Starke Emergenz" überhaupt gibt. Einige glauben, dass das Bewusstsein ein solches Phänomen sein könnte. Wenn die mathematische Emergenz die "reale" (physikalische) Emergenz (Bewusstsein?) beschreiben sollte. Wäre doch spannend wenn man beweisen könnte (Komplexitätstheorie?), dass ab einer gewissen Komplexität, keine direkte rückschlüsse auf die einzelnen "einfachen" Quellen zu ziehen wären. Genauso wie es keine Formel für Primzahlen oder Zeta-Funktionsnullstellen geben könnte. z.B. weiss man wieso das "Mandelbrot-Männlein" (das Ursprungsbild) immer wieder fraktal an gewissen anderen Punkten rotiert und skaliert auftaucht? Kann man beweisen, das man diese Punkte hervorsagen kann? Was auch noch dazu kommt ist die "Chaos"-Theorie. für gewisse komplexe Vorgänge (Wetter) oder auch einfache Funktionen (iterative) gibt es nicht vorhersagbares Chaotisches verhalten. Nicht vorhersagbar wahrscheinlich desshalb, weil man transzendente Zahlen (unendlich viele, nicht berechenbare Nachkommestellen) zu 100% (unendlich) genau verwenden müsste, um es deterministisch zu machen, was nicht möglich ist. So ein Phänomen könnte auch in hochkomplexen Neuronalennetzen auftauchen. Und bei Physikalischen Neuro-Netzen (keine simulierten oder mathematischen Neuro-Netze) könnte auch für die limitierte Genauigkeit die Eisenbergsche Unschärfe ihren Beitrag leisten.... |
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| 10.01.2025, 11:21 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das stimmt. Was ich aber meine ist die Untersuchung von Emergenz im Generellen (Emergenz in Physik, Chemie, Mathematik, Neurowissenschaft usw.) mit Mathematik. |
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| 10.01.2025, 13:05 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit den irrationalen Zahlen sehe ich als mögliches Problem, wenn man Emergenz mit Mathematik beschreiben will. Die Mathematik kann mit irrationalen Zahlen rechnen. In der Natur kommen die aber nicht vor. Da muss man irgendeine Art Unschärfe einbauen, wie du schon sagst. |
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| 10.01.2025, 13:41 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge 1 (eine natürliche Zahl, die in der Natur vorkommt) hat exakt und scharf die Länge (eine irrationale Zahl, die also auch in der Natur vorkommt). Auch die transzendente Zahl kommt in der Natur vor, dazu muss man nur auf einem Kreis laufen. |
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| 10.01.2025, 14:01 | G100125 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sagt KI dazu: Emergenz ist ein Konzept, das in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen eine Rolle spielt, darunter auch in der Mathematik. Es bezieht sich auf das Phänomen, dass aus der Interaktion vieler einfacher Teile oder Elemente neue, oft unerwartete Eigenschaften oder Strukturen entstehen, die in den Einzelteilen selbst nicht vorhanden sind. Diese emergenten Eigenschaften sind oft nicht direkt aus den Eigenschaften der einzelnen Elemente ableitbar und treten erst auf der Makroebene des Gesamtsystems auf. Emergenz in der Mathematik In der Mathematik bezieht sich Emergenz auf Phänomene, bei denen aus der Interaktion vieler mathematischer Einheiten oder Systeme komplexe Verhaltensweisen oder Muster entstehen, die sich nicht leicht auf die Eigenschaften der einzelnen Einheiten zurückführen lassen. Dies kann in mehreren Bereichen auftreten: Dynamische Systeme und Chaos-Theorie: In der Theorie dynamischer Systeme können einfache Regeln für die zeitliche Entwicklung eines Systems zu hochkomplexen und chaotischen Verhaltensmustern führen. Ein klassisches Beispiel ist das logistische Wachstum: xn+1=r⋅xn⋅ 
1−xn)xn+1​=r⋅xn​⋅
1−xn​
Dieses einfache Modell zeigt bei bestimmten Werten des Parameters rr ein extrem komplexes Verhalten, das schwer vorhersehbar ist. Hier tritt Emergenz in Form von chaotischem Verhalten auf, obwohl die zugrunde liegenden Regeln einfach sind. Zelluläre Automaten: Zelluläre Automaten sind Modelle, bei denen jedes Element eines Gitters (Zelle) sich nach bestimmten Regeln abhängig von den Zuständen seiner Nachbarn entwickelt. Ein bekanntes Beispiel ist Conway's Game of Life. Obwohl die Regeln für die Entwicklung der Zellen sehr einfach sind, können überraschend komplexe und vielfältige Muster entstehen, darunter sich bewegende Strukturen oder stabile Konfigurationen. Diese Muster sind emergente Phänomene. Fraktale Geometrie: Fraktale sind mathematische Strukturen, die durch wiederholte Anwendung einfacher Regeln entstehen, oft in einem selbstähnlichen Muster. Diese Strukturen zeigen auf unterschiedlichen Skalen komplexe Muster, die aus der Iteration einfacher mathematischer Prozesse emergieren. Graphentheorie und Netzwerke: In großen Netzwerken, wie sozialen Netzwerken oder dem Internet, können emergente Eigenschaften wie Clusterbildung oder die Verbreitung von Informationen auftreten. In der Graphentheorie untersucht man diese emergenten Eigenschaften, um das Verhalten großer, komplexer Netzwerke zu verstehen. Statistische Physik und Wahrscheinlichkeitsmathematik: Emergenz tritt auch in der mathematischen Physik auf, wo aus der Interaktion von vielen kleinen Teilchen makroskopische Eigenschaften wie Temperatur, Druck oder Phasenübergänge entstehen, die sich auf der Mikroskala nicht unmittelbar beobachten lassen. Das Verhalten eines Gases beispielsweise lässt sich nicht auf das Verhalten eines einzelnen Moleküls reduzieren, sondern emergiert durch das kollektive Verhalten vieler Moleküle. Agentenbasierte Modelle: Diese Modelle bestehen aus vielen einzelnen "Agenten", die nach bestimmten Regeln agieren. Ein bekanntes Beispiel ist das Schwarmverhalten, bei dem viele Agenten (z.B. Vögel oder Fische) nach einfachen Regeln agieren und kollektive Verhaltensmuster wie Schwarmbewegungen emergieren, ohne dass ein zentraler Mechanismus das Verhalten steuert. Beispiele für Emergenz in der Mathematik: Conway’s Game of Life: Ein einfaches zelluläres Automaton, bei dem durch eine Regel zur Zellvermehrung und -sterben hochkomplexe Strukturen entstehen können. Perkolationstheorie: In der Wahrscheinlichkeitstheorie studiert man, wie sich Verbindungen in zufälligen Netzwerken bilden. Emergenz zeigt sich, wenn ein Netzwerk plötzlich von nicht verbunden zu verbunden übergeht, sobald die Dichte der Verbindungen eine bestimmte Schwelle überschreitet. Schwarmintelligenz: Durch einfache Regeln, wie in der Simulation von Fischschwärmen oder Vogelschwärmen, entsteht ein koordiniertes, oft beeindruckendes Gruppenverhalten aus der Interaktion vieler Individuen. Fazit: Emergenz in der Mathematik beschreibt, wie aus der Interaktion einfacher Regeln oder Strukturen komplexe Muster oder Verhaltensweisen entstehen, die nicht sofort aus den Grundelementen abzuleiten sind. Es ist ein zentrales Konzept in der Untersuchung von Systemen mit vielen interagierenden Teilen, insbesondere in Bereichen wie der Chaostheorie, Fraktalen, Netzwerktheorie und dynamischen Systemen. |
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| 10.01.2025, 14:25 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Elivs für Deine Teilnahme 
Vielleicht gab es da ein Missverständnis. Ich spreche nicht davon das irrationale oder transzendete Zahlen nur in der Gedankenwelt geben sollte. (So zumindest intepretiere ich dein Beitrag so) Sondern was ich meine ist, dass z.b iterative Funktionen (z.B. "logischer Wachstum"), welche chaotisches, anscheinend nicht vorherzusagendes (nicht-deterministisch) Verhalten aufzeigen, nur deshalb "chaotisch" sind, weil wir transzendete und irrationale Zahlen nicht 100% genau verwenden können in den Berechnungen. was @willyengland meint ist wahrscheinlich, das es keine perfekte Kreise in physikalischer Form in der Natur gibt. |
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| 10.01.2025, 22:28 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gibt es ein Beispiel für Emergenz, die die Grenzen des Systems sprengt? Als Bsp., was ich meine: im Schach kann zB bei einer komplizierten Stellung das Bild eines zornigen Gesichtes entstehen, fabriziert durch die Stellung der Figuren, aber natürlich geschieht das alles innerhalb des Brettes und innerhalb der Regeln; eine leibhaftige Ziege kann nie aus einem Schachspiel emergieren, denn diese Emergenz würde das System „sprengen“. Oder gibt es sowas doch? |
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| 11.01.2025, 09:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die ersten Einzeller auf der Erde konnten vor 3,5 Milliarden Jahren nicht wissen, dass es heute Säugetiere und darunter auch Ziegen gibt. Emergenz beschreibt das Unvorhersehbare, nicht das Unmögliche. |
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| 11.01.2025, 11:05 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die gesamte Evolution ist wohl ein ziemlich gutes Beispiel für Emergenz. Aus der Ursuppe die heutige Welt herzuleiten ist unmöglich. |
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| 11.01.2025, 13:29 | G110125 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ein schönes Beispiel für das, was Emergenz zu leisten vermag:
(wikipedia) |
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| 11.01.2025, 14:04 | G110125 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
PS: Emergenz spielt tatsächlich eine zentrale Rolle beim Verständnis der Kambrischen Explosion und ist ein oft übersehener Aspekt. Ich erkläre die verschiedenen Ebenen: Grundlegende Emergenz auf molekularer Ebene Aus dem Zusammenspiel einfacher Moleküle entstanden komplexere Regulationsnetzwerke Diese ermöglichten völlig neue Eigenschaften, die aus den einzelnen Komponenten nicht vorhersagbar waren Beispiel: Die Entstehung von Signalkaskaden, die plötzlich komplexe Entwicklungsprozesse steuern konnten Emergenz auf zellulärer Ebene Die Spezialisierung von Zellen führte zu emergenten Eigenschaften von Geweben Aus dem Zusammenspiel spezialisierter Zellen entstanden neue Funktionen Beispiel: Entstehung von Nervensystemen durch Vernetzung spezialisierter Zellen Emergenz auf der Ebene der Organismen Neue Körperbaupläne ermöglichten emergente Verhaltensweisen Die Kombination vorhandener Module führte zu unerwarteten neuen Fähigkeiten Beispiel: Die Entstehung von aktivem Räuberverhalten durch Kombination von Sinnesorganen, Nervensystem und Bewegungsapparat Ökologische Emergenz Aus dem Zusammenspiel der Arten entstanden neue ökologische Beziehungen Diese führten zu emergenten Eigenschaften ganzer Ökosysteme Beispiel: Entstehung von Nahrungsnetzen und komplexen Räuber-Beute-Beziehungen Die Emergenz erklärt, warum die Evolution im Kambrium so "explosionsartig" verlaufen konnte: Kleine Änderungen konnten durch emergente Effekte zu drastischen Neuerungen führen. Dies beschleunigte den evolutionären Prozess erheblich. Was die Kambrische Explosion besonders macht: Es war vermutlich das erste Mal in der Erdgeschichte, dass Emergenz auf so vielen verschiedenen Ebenen gleichzeitig neue Möglichkeiten eröffnete. |
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| 11.01.2025, 14:12 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin kein Experte, aber ich glaube Evolution ist keine Emergenz im Klassischen Sinn. Emergenz ist wenn aus einfachen Teilen mit einfachen Regeln, neue Übergeordnete grössere Teile oder Verhalten entstehen. Aber Zeitgleich. Evolution ist eine Kombination aus Emergenz-Phänomene überlagert mit viel zeitlicher Entwicklung (wie Kaskaden). |
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| 11.01.2025, 15:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In Conway's Game of Life haben wir ein Beispiel, wie emergente Eigenschaften im Zeitverlauf auftreten. Jede Rekursion benötigt Zeit, wenn sie in Form von Algorithmen auf Computern abläuft. Mandelbrots Fraktale entstehen durch rekursive Berechnung, das Apfelmännchen ist nicht einfach da sondern braucht CPU-Zeit und elektrische Energie. Es gibt überhaupt keinen Grund, warum emergente Phänomene zeitunabhängig sein sollten. Ganz im Gegenteil bin ich der Meinung, dass Emergenz immer in der Zeit stattfindet. Wie soll etwas unvorhersehbares entstehen, wenn es schon vorher da war oder schon da ist ? Das geht doch gar nicht. @G110125 hat das sehr schön ausgeführt, danke dafür. Hast du dafür Literaturempfehlungen ? |
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| 06.02.2025, 09:49 | Justice | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Elvis Ja, ich hatte mich falsch ausgedrückt. Alles in unserem universum agiert ja kausal (mit speedlimit=lichtgeschwindigkeit) und somit gibts kein echtes Gleichzeitig. Was ich meinte war die Evolution ansich. also der x Jahrhundermillionen Akt. In meinem Startbeitrag erwähne ich ja Conways Spiel auch... |
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