Zerfällungskörper von Polynomen

12.01.2025, 23:42	teomatheo5	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper von Polynomen Meine Frage: Hallo ich bin neu hier. Es geht um eine Aufgabe: Das Polynom f(x) = x3 + 2x + 1 über dem endlichen Körper V = Z/mod(3) wird gegeben, also in V[x]. Die Aufgabe ist es dann den Zerfallungskörper von f über V zu bestimmen. Meine Idee: f hat in V keine Nullstellen (klar). D.h. V selbst kann schon mal nicht der gesuchte Zerfallungskörper sein. Sei also y einw Nullstelle von f, dann ist f(x) = (x-y)g(x) für g(x) = x2 + yx + y2 + 2 über der Erweiterung V(y). Die quadratische Gleichunh g(x) = 0 hat die Diskriminante -3y2 - 8, was aber über V gerade 1 ist, also ein Quadrat über V und damit auch V(y). Damit lässt sich f weiter über V(y) faktorisieren, also komplett faktorisieren mit Nullstellen in V(y), wodurch V(y) der Zerfallungskörper vom Grad 3 ist. Meine Frage: Ist meine Argumentation richtig? Und wie könnte man V(y) explizit bestimmen oder ist das in dem Falle schon ausreichend? Ich freue mich auf eure Hilfe! :-) PS: Ist kein Crossposting. Brauche einfach dringend eine Antwort. Meine Ideen: s.o.
13.01.2025, 10:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Heureka, ich hab's. Der Ansatz $\begin{eqnarray} g(x)=x^2+xy+y^2+2=(x-\alpha)(x-\beta); \alpha, \beta \in \mathbb F_3^3=\{ay^2+by+c\|a,b,c \in \mathbb F_3\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(x-ay^2-by-c)(x-dy^2-ey-f)=... \end{eqnarray}$ führt nach einiger Rechnung, wobei $\begin{eqnarray} y^3=y+2,y^4=y^2+2y \end{eqnarray}$ benutzt wird, auf einen Koeffizientenvergleich. Beachte, dass $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ ein Polynom in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist. Dann kann man etwas raten und die Probe machen. Man darf sich nur nicht verrechnen, sonst wachsen Aufwand und Verdruss. Übrigens ist $\begin{eqnarray} V=\mathbb F_3, V(y)=\mathbb F_3^3 \end{eqnarray}$ schon bekannt. Für mich allerdings immer noch eines der größten Wunder der Algebra ist, dass $\begin{eqnarray} y=\overline x=x+(f(x))\in \mathbb F_3[x]/(f(x)) \end{eqnarray}$ eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ ist. Was dir nur fehlt, ist die Faktorisierung von $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ , um die Faktorisierung von $\begin{eqnarray} f(x)=x^3+2x+1=(x-y)g(x) \end{eqnarray}$ anzugeben.
15.01.2025, 21:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil der Zerfällungskoerper $\begin{eqnarray} V(y) \end{eqnarray}$ ein Körper ist, kann man jedes von 0 verschiedene Element invertieren. Insbesondere existiert das multiplikativ inverse Element $\begin{eqnarray} y^{-1} \end{eqnarray}$ , dessen Berechnung man zum Spaß auch einmal durchführen sollte. Durch solche einfachen Rechnungen bekommt man ein gutes Gefühl für den wichtigen Unterschied zwischen Körper und Körpererweiterung auf der einen Seite und die Polynomringe auf der anderen Seite. Beide Arten von algebraischen Strukturen sind Vektorräume, und man sollte sie auseinander halten können.
16.01.2025, 21:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
teomatheo5 schweigt sich leider aus, nachdem er so ein spannendes Thema eröffnet hat. Mir lässt das aber noch keine Ruhe, und vielleicht kann jemand eine Zusatzfrage beantworten, auf die ich noch keine Antwort habe. In jedem $\begin{eqnarray} \mathbb F_3^3 \end{eqnarray}$ gibt es ja auch einen $\begin{eqnarray} \mathbb F_3^2 \end{eqnarray}$ . Hat die quadratische Erweiterung (oder: Haben die quadratischen Erweiterungen ?) über dem Primkörper in diesem Beispiel eine Bedeutung, und in welchem Zusammenhang mit $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ stehen die drei (oder mehr ?) Polynomringe ? Spielt die Wurzel aus y eine Rolle ? Wie sieht der Zerfällungskoerper von $\begin{eqnarray} x^2=y \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb F_3(y) \end{eqnarray}$ aus ? Hat er 3 hoch 6 oder 3 hoch 9 Elemente ?
17.01.2025, 03:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Erledigt. Mein Langzeitgedächtnis hat mir soeben mitgeteilt, dass folgendes für $\begin{eqnarray} p,n,m\in\mathbb N,p\in \mathbb P \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} m\|n\Leftrightarrow \mathbb F_{p^m}\le \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray}$ eindeutig bis auf Isomorphie. Damit ist alles klar und die gestrigen Fragen sind gegenstandslos (V(y) hat keinen quadratischen Teilkoerper). (An manchen Tagen kann man auch im Bett bleiben. ) Die Galoistheorie gibt mir mit der Galoisgruppe $\begin{eqnarray} C2\times C3=C6 \end{eqnarray}$ den Teilkörperverband, wenn ich zu V(y) eine Quadratwurzel aus y adjungiere. Der neue Zerfällungskoerper hat als $\begin{eqnarray} \mathbb F_{3^6} \end{eqnarray}$ neben der kubischen eine quadratische Erweiterung über dem Primkörper. Jetzt suche ich nur noch eine erzeugende Gleichung für $\begin{eqnarray} \sqrt y\in \mathbb F_{3^2} \end{eqnarray}$ im Polynomring $\begin{eqnarray} \mathbb F_3[x] \end{eqnarray}$ und eine explizite Angabe eines erzeugenden Automorphismus der $\begin{eqnarray} C6 \end{eqnarray}$ .
17.01.2025, 15:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass die Quadratwurzel aus y im quadratischen Teilkörper liegt, war ein unbegründeter Kurzschluss. Weiß jemand, wie man den quadratischen Teilkörper tatsächlich über dem Grundkörper erzeugen kann ? Welche Auswirkungen hat das dann auf den erzeugenden Algorithmus der zyklischen Galoisgruppe ? Wie muss ein Zerfällungskoerper vom Grad 6 über F3 beschaffen sein, damit seine Galoisgruppe die S3 ist ? Gibt es außer >Hans Kurzweil "Endliche Körper" Springer-Lehrbuch 2008< Literatur zum Thema ? Kann das Buch jemand empfehlen (sieht mir zu sehr nach Einführung aus) ? Nachtrag: Ich erinnere an den Fobenius, der die zyklische (!) Galoisgruppe erzeugt. Damit lassen sich die Nullstellen von $\begin{eqnarray} x^3+2x+1 \end{eqnarray}$ im Zerfällungskörper viel besser berechnen als durch "Koeffizientenvergleich", den ich vor ein paar Tagen vorschlug. Die nichtzyklische, ja sogar nichtabelsche S3 ist damit auch aus dem Rennen.
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18.01.2025, 10:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit ChatGPT kann man sich ganz gut unterhalten, aber jetzt will er mir (ohne Beweis) weismachen, dass eine quadratische Erweiterung von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{27} \end{eqnarray}$ 81 statt 729 Elemente hat. Nachtrag: ChatGPT hat meinen Beweis zur Kenntnis genommen und mir dann erklärt, dass ich mit der Zahl 81 falsch und er mit 729 recht hatte. Als Begründung hat er meinen Beweis verwendet. Interessante Gesprächstaktik - nach einem weniger freundlichen Hinweis meinerseits hat er mir in allen Punkten recht gegeben. Er behauptet sogar, daraus gelernt zu haben. Wäre vielleicht nicht schlecht, wenn mehr Maschinen und Menschen mit Fakten statt mit Meinungen argumentieren würden. Ich suche immer noch nach dem Zusammenhang zwischen der Wurzel aus y und der Wurzel im quadratischen Teilkörper. Wie sieht dessen Minimalpolymom aus ? Es gibt ja nur 3 Möglichkeiten, das muss man doch berechnen können.

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