Unterschiedliche Primzahlen und 1 addieren

18.01.2025, 21:52

Uluhan

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Unterschiedliche Primzahlen und 1 addieren

Meine Frage:
Ich habe versucht, eine Zahl zu finden, die ich nicht als Summe unterschiedlicher
Zahlen schreiben kann. Die Zahlen müssen bei mir Primzahlen oder eben 1 sein. Also 2+2 ist verboten, aber 1+3 ist erlaubt.

Meine Ideen:
Ich habe schon herausgefunden, dass ich nur die Abstände der Primzahlen anschauen muss, denn wenn 1+2 erlaubt ist, dann muss zwischen den nächsten Primzahlen, die ja erlaubt sind,, mindestens drei liegen, aber dann kommt 1+2+3, also muss der Abstand mindestens 6 sein. Leider kommt da noch die 5 und die 7 viel zu eng. Dann habe ich mir eine Liste von Primzahlen angesehen und die erforderlichen Abstände werden immer größer. Gibt es denn so riesige Primzahlabstände? Die KI von Microsoft wusste dazu nichts, vielleicht ist mein Problem zu einfach.

19.01.2025, 08:48

nichteuerernst

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RE: UNTERSCHIEDLICHE Primzahlen und 1 addieren
Lies mal die Literatur zur (unbewiesenen) Goldbach-Vermutung.
Angeblich ist jede gerade Zahl größer als 4 als Summe von zwei Primzahlen darstellbar (z.B. im Fall n=6 wären es allerdings zwei gleiche Primzahlen). Wenn man dazu noch 1 addiert, erhält man ungerade Zahlen.

19.01.2025, 09:26

Uluhan

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RE: UNTERSCHIEDLICHE Primzahlen und 1 addieren
Danke für den Hinweis! Wenn das mit der Goldbachvermutung begründet werden kann, dann nehme ich es so hin. Im Grunde kann ich ja bei einem doppelten einer Primzahl ja einfach zwei Primzahlen schreiben und dann die eine Primzahl wieder zerlegen, damit nichts zweimal vorkommt. Und für kleine Zahlen geht das ja gut von Hand.

19.01.2025, 16:52

HAL 9000

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Nun, Goldbach ist nicht bewiesen, und sollte daher nicht in der Argumentation verwendet werden. Aber was du heranziehen könntest ist der tatsächlich schon bewiesene Satz von Bertrand-Tschebyscheff.

Der besagt, dass es für alle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ mindestens eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n < p < 2n \end{eqnarray*}$ gibt.

Das ermöglicht nun folgenden indirekten Beweis deiner Behauptung:

Mit $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sei die Menge der Primzahlen zuzüglich der 1 bezeichnet.

Angenommen, es gibt natürliche Zahlen, die nicht als Summe von paarweise verschiedenen Zahlen aus $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ darstellbar sind. Unter all diesen Zahlen sei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die kleinste. Auf jeden Fall ist $\begin{eqnarray*} m\geq 3 \end{eqnarray*}$ , denn 1 und 2 sind ja darstellbar (jeweils mit nur einem Summanden aus $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ).

Nun wenden wir obiges Bertrand-Tschebyscheff auf $\begin{eqnarray*} n = \left\lfloor \frac{m+1}{2}\right\rfloor \end{eqnarray*}$ an, d.h., es ist $\begin{eqnarray*} m=2n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} m=2n-1 \end{eqnarray*}$ , und für die gemäß Satz existente Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} n+1\leq p\leq 2n-1\leq m \end{eqnarray*}$ . Ziehen wir Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ab, so verbleibt $\begin{eqnarray*} m'=m-p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq m'\leq m-n-1<n \end{eqnarray*}$ . Nun ist aber entweder $\begin{eqnarray*} m'=0 \end{eqnarray*}$ (keine weiteren Summanden) oder aber auf jeden Fall zerlegbar, da ja $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die kleinste nicht zerlegbare Zahl ist, außerdem sind alle Summanden der Zerlegung von $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} m'<n<p \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ verschieden. Damit ist $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ also doch in der gewünschten Weise zerlegbar - Widerspruch zur Annahme.

20.01.2025, 00:47

Uluhan

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Ich habe mir noch einmal alles durch den Kopf gehen lassen und die Idee von Goldbach kommt für mich nicht in Frage, weil sie nur für gerade Zahlen gilt und ich so zu viele Einser bräuchte, falls ich Pech habe und zwei gleiche Primzahlen entstehen und ich will ja nur maximal eine 1 verwenden, sonst wird es ja Steinzeitmathe, wenn ich beliebig viele erlaube.

Das mit dem Bertrand klingt da schon viel versprechender. Ich lasse mir alles durch den Kopf gehen und ordne meine Gedanken. Darf ich mich danach melden, wenn ich dann noch Fragen habe? Die Forenregeln stellen ja hohe Mindestanforderungen an Rückfragen und ich bin nicht klug.

20.01.2025, 01:11

Uluhan

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Entschuldigung, ich habe mich doch tatsächlich nicht bei dir bedankt, Hal 9000. Das hole ich jetzt nach. Vielen Dank! Es wird wohl eine Weile dauern, bis ich wieder darauf zurückkomme, wie gesagt bin ich beim Denken langsam.

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20.01.2025, 07:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Uluhan
Darf ich mich danach melden, wenn ich dann noch Fragen habe?

Na klar.

Zitat:

Original von Uluhan
Die Forenregeln stellen ja hohe Mindestanforderungen an Rückfragen

Das wäre mir neu. Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Für Zahlen $\begin{eqnarray*} \geq 7 \end{eqnarray*}$ dürfte deine Behauptung auch ohne Hinzunahme der 1 richtig sein, d.h. solche Zahlen sind stets als Summe paarweise verschiedener Primzahlen darstellbar (Summen mit nur einem Summanden sollen natürlich erlaubt sein).

Allerdings klappt mein obiger Beweis dann nicht mehr, auch nicht mit leichten Korrekturen. Ob er mit größeren Umbauten doch zu retten ist, vermag ich jetzt noch nicht zu sagen.

20.01.2025, 12:49

Uluhan

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Mal sehen, ob es klappt mit dem Code-Editor.

$\begin{eqnarray*} 1+\sum\limits_{p=1}^{n} p \geq p_{n+1} -p_{n} \Rightarrow 1+2*p_{n} +\sum\limits_{p=1}^{n-1} p\geq p_{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann nehme ich noch den Satz von Bertrand dazu und die Sache mit den Primzahllücken ist geregelt?! Weist mich bitte auch Fehler hin! Es fehlt aber in jedem Fall noch der Beweis der "Punktlandung" und da habe ich keine Ahnung, wie ich das verallgemeinern soll. Meine erste Idee wäre, dass es bei niedrigen Zahlen genug Möglichkeiten der Zerlegung gäbe (auch für Primzahlen), mithilfe dieser Möglichkeiten, die keine Lücken zulassen, die Spanne bis zur nächsten Primzahl überbrücken, also mich von unten nach oben voranzuarbeiten. Eine andere Idee, die mir durch den Kopf schießt, ist die nächstbeste Primzahl darunter abzuziehen bis die Zahlen zweistellig oder einstellig werden und dann auf Feststellungen zurückzugreifen.

20.01.2025, 13:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Uluhan
$\begin{eqnarray*} 1+\sum\limits_{p=1}^{n} p \geq p_{n+1} -p_{n} \Rightarrow 1+2*p_{n} +\sum\limits_{p=1}^{n-1} p\geq p_{n+1} \end{eqnarray*}$

Da scheint was nicht in Ordnung zu sein - ich kann es aber nicht korrigieren, weil ich nicht weiß, was genau du damit ausdrücken willst. unglücklich

unglücklich

Nur so viel: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{p=1}^{n} p = 1+2+3+\ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ , und das hast du an der Stelle vermutlich nicht gemeint. unglücklich

unglücklich

Geht es womöglich stattdessen um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} p_k = p_1 + p_2 + \ldots + p_n \end{eqnarray*}$ ?

Und:

1) Was genau meinst du mit $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,\ldots \end{eqnarray*}$

2) Was ist dadurch wie "geregelt"? Werde bitte mal deutlicher statt so verbrämt zu sprechen.

20.01.2025, 13:39

Uluhan

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Zitat:

Da scheint was nicht in Ordnung zu sein - ich kann es aber nicht korrigieren, weil ich nicht weiß, was genau du damit ausdrücken willst. unglücklich

unglücklich

Nur so viel: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{p=1}^{n} p = 1+2+3+\ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ , und das hast du an der Stelle vermutlich nicht gemeint. unglücklich

unglücklich

Geht es womöglich stattdessen um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} p_k = p_1 + p_2 + \ldots + p_n \end{eqnarray*}$ ?

Und:

1) Was genau meinst du mit $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,\ldots \end{eqnarray*}$

2) Was ist dadurch wie "geregelt"? Werde bitte mal deutlicher statt so verbrämt zu sprechen.

Da habe ich wohl alles falsch gemacht und geschrieben, was man falsch machen kann. Damit es nicht noch mehr Unsinn wird, den ich schreibe, tippe ich es in Worten:

1. Wenn die Differenz zwischen zwei Primzahlen p_n+1 und dem Vorgänger p_n größer wäre als die Summe der vorangegangen Primzahlen plus die untere untersuchte Primzahl p_n, dann wäre das Spiel unmöglich.
2. Dann habe ich auf beiden Seiten die untere Primzahl p_n addiert.
3. Dann, damit 2*p_n auf der linken Seite steht, die untere Primzahl noch einmal aus dem Summenzeichen herausgezogen.
4. Nach Bertrand ist aber 2*n die Obergrenze für die nächste Primzahl. n ist eine natürliche Zahl, Primzahlen auch, also denke ich, der Satz gilt auch für Primzahlen. Wenn nicht, ist der ganze Beweis überflüssig.
5. Wenn man nun den Teil mit dem Summenzeichen ignoriert, weil man ihn nicht kennt und behauptet, die ursprüngliche Aufgabe wäre wegen der Größe der Primzahllücken unmöglich, müsste man erklären, warum das Doppelte einer Primzahl kleiner sein soll als der Nachfolger der Primzahl.

Ich hoffe, jetzt ist klar, was ich gemeint habe. Kann natürlich sein, dass ich einen Bock geschossen habe. Ich zum ersten Mal diese Latex -Codesprache benutzt und weiß nichts über Mathe, ich bin auch nicht besonders schlau, also habt bitte Nachsicht. Das ganze Projekt sollte eigentlich gar nicht so groß werden.

20.01.2025, 14:02

Uluhan

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Also was ich damit sagen wollte, wenn man das Problem mathematisch aufschreibt und das Bertrandgesetz kennt - das ich vorher nicht gekannt habe und die Terme so aufschreibt, dass die Obergrenze als 2n in einem Term vorkommt, dann sieht man schon, dass es kein Wunder ist, dass das Rechenspiel klappt.

20.01.2025, 14:17

HAL 9000

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Ich weiß nicht, was 1.-5. darstellen soll: Laut geäußertes Brainstorming, in das erst noch Ordnung einziehen soll?

Oben hatte ich einen (meiner Meinung nach) korrekten Beweis der Behauptung

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sei die Menge der Primzahlen zuzüglich der 1.

Dann kann man jede positive natürliche Zahl als Summe von paarweise verschiedenen Zahlen aus $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ darstellen.

genannt. Ok, du willst daraus deinen eigenen Beweis machen - einerseits womöglich, um die Sache besser zu verstehen, bzw. vielleicht auch weil du einen direkten Beweis einem indirekten vorziehst, oder weswegen auch sonst. Verstehe ich.

Allerdings frage ich mich beim Durchlesen deiner Überlegungen: Wo genau wird dort mal ein Bezug zur eigentlichen Behauptung hergestellt?

20.01.2025, 15:07

Uluhan

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Ich verstehe gar nichts mehr, außer vielleicht, dass wir endgültig aneinander vorbei reden.

Zitat:

Original von HAL 9000
Allerdings klappt mein obiger Beweis dann nicht mehr, auch nicht mit leichten Korrekturen. Ob er mit größeren Umbauten doch zu retten ist, vermag ich jetzt noch nicht zu sagen.

Wenn es also stimmt, dass ich deinen Beweis nur umformuliert habe, haben wir dann beide Unrecht? Aber vielleicht habe ich mich schon im ersten Beitrag missverständlich ausgedrückt. Es geht um folgendes:

2 (Ausnahme)
3=2+1
4=3+1
5=3+2
6=3+2+1
7=5+2
8=7+1
9=7+2
10= 7+3
11=9+2

Es sind also beliebig viele Summanden erlaubt, die aber verschieden sein sollen und entweder eine Primzahl oder eine eins sein müssen. Wenn ich also eine zweistellige Zahl in verschiedene Primzahlen zerlege und sie zufällig zwischen 11 und dem doppelten von 11 liegt, dann brauche ich nur 11 abzuziehen und schon lande ich in meiner Liste, die Bedingungen sind dann erfüllt, weil ich danach nicht mehr auf 11 angewiesen bin, ich kann sie ja weitere zerlegen, Zum Beispiel: 20-11-7-2=0 oder 2+7+11=20. Das einzige, was nötig ist, zu beweisen, dass es mehr als genug Primzahlen für dieses Problem existieren und auch noch so eng, dass das Problem gelöst ist, denn wenn man die nächste niedrige Primzahl abzieht, ist sie zwar verbraucht, aber den Rest kann man nach den Regeln weiter zerlegen, da das Zwischenergebnis auch kleiner wird.

Das sagt nichts darüber aus, welche verschiedenen Primzahlen oder 1 verwendet werden, aber sie sind verschieden und es ist auf jeden Fall möglich.

Und es ist möglich, weil die Antwort direkt aus dem Satz von Bertrand folgt.

Mit anderen Worten, wir haben beide recht
Dass ich nicht mit dem Formeleditor umgehen kann, gebe ich zu traurig

traurig

.

20.01.2025, 15:39

Elvis

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Ich sehe nicht, welchen Sinn 11=9+2=7+2+2 in dieser kurzen Liste ergibt. 9 ist keine Primzahl, und 7+2+2 enthält nicht nur verschiedene Primzahlen. Das spricht nicht gegen die Zerlegung 11=7+3+1 und nicht gegen die Zerlegung 11=11 in paarweise verschiedene Primzahlen. Wer einen Satz beweisen will, muss ihn erst einmal verständlich formulieren. Danach genügt es auch nicht, als Beweis ein paar unklare Beispiele anzubieten.

20.01.2025, 15:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
Wer einen Satz beweisen will, muss ihn erst einmal verständlich formulieren.

So ist es. In meiner Formulierung der Behauptung

Zitat:

Original von HAL 9000
Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sei die Menge der Primzahlen zuzüglich der 1.

Dann kann man jede positive natürliche Zahl als Summe von paarweise verschiedenen Zahlen aus $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ darstellen.

kann diese Summe auch nur aus einem einzigen Summanden bestehen, dann ist 2 durchaus keine "Ausnahme". Wenn man eine Summe bestehend aus mindestens zwei positiven Summanden haben will, muss man es entsprechend formulieren. Dann müsste ich auch meinen Beweis oben anpassen, denn der funktioniert dann so nicht.

20.01.2025, 16:29

Uluhan

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Ich kann den Beitrag nicht mehr korrigieren, natürlich ist 9+2 falsch. Wie ändere ich das jetzt ab?

07.12.2025, 00:29

Uluhan

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Ich habe mit viel Chat-GTP Dialogen den Name des Problems herausgefunden. Es heißt mit strengeren Bedingungen "Satz von Richert" und es gibt inzwischen einen Wikipediaartikel zu den Gedanken des Mannes. Das lange Herumgerechne hätte ich mir sparen können, wenn ich gründlicher recherchiert hätte. Auch Chat - GTP ist besser geworden und hat jetzt, nachdem ich meine Argumentationskette präzisiert habe und der Beweis wasserdicht war, schlussendlich die passende Seite verlinkt. Damals war es ja noch ein reines Sprachmodell-Tool. Und Richert brauchte nicht einmal eine 1, sondern hat alle natürlichen Zahlen über 6 gleich mit allen verfügbaren Primzahlen zerlegt. Ich schreibe das für alle, die sich eine ähnliche Frage gestellt haben.

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