Wurzel ziehen ohne Taschenrechner |
| 19.01.2025, 15:58 | GuestGuest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wurzel ziehen ohne Taschenrechner Berechne ohne Taschenrechner: \sqrt{3,69} Meine Ideen: Mein Schüler (9. Klasse) hat in einer Probeklausur diese Teilaufgabe Wie soll das ein 9. Klässler per Hand ausrechnen? verpasse ich hier irgendwas oder macht das einfach keinen Sinn Die anderen Teilaufgab sind sowas wie: \sqrt{\frac{25}{196}} wo es ja kein Problem gibt |
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| 19.01.2025, 16:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne Taschenrechner habe ich mit keine großen Probleme. Und dann muss es eben "etwas mehr" sein. |
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| 19.01.2025, 16:22 | G190125 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Wurzel ziehen ohne Taschenrechner Wenn du die Quadratzahlen von 1 bis 20 kennst, sollte es einfach sein. Und ein wenig rechnen mit Deziimalzahlen: 0.2*0,2 = ? Wieviel Nachkommastellen hat das Ergebnis? |
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| 19.01.2025, 17:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um die vorigen Antworten einmal zusammenzuführen: |
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| 19.01.2025, 17:15 | GuestGuest | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist alles vollkommen richtig hat nur alles wenig mit meinem Post zu tun da eben und nicht [latex] \sqrt{3,61} [/latex berechnet werden soll. Aber mein Schüler hat mir auch eben schon bestätigt dass der Lehrer hier einen Fehler gemacht hat und eigentlich wollte, dass man auf 1,9 kommt. |
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| 19.01.2025, 17:27 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vor Jahrzehnten wären die Aufgabensteller vielleicht auf lineare Interpolation zwischen und aus gewesen, d.h. als Schätzung . Aber ausgeschlossen, dass man heute so was noch verlangen kann. |
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| 20.01.2025, 03:00 | Uluhan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann mir vorstellen, dass da ein Näherungsverfahren gefragt wurde oder ein Bereich zwischen zwei rationalen Zahlen gefragt wurde. Da kann man etwas aus den binomischen Formel herleiten. Wenn die Näherung nahe genug an der gesuchten Wurzel ist, wird dann die Ungenauigkeit x kleiner als 1. Und weil die Ungenauigkeit auch quadriert wird, wird sie noch kleiner, hoffentlich vernachlässigbar. Das ganze Verfahren ist aber wirklich antik und ich kenne niemanden, der es noch verwendet. Am Ende kommt nach Umformung nach x schließlich (q-n^2)/(2n) [ist gerundet] x heraus. Das kann man noch weiter vereinfachen. q ist dann die gegebene Zahl und n die anfängliche Näherung für die Wurzel. n+x ist schon recht gut am Ergebnis, zumindest bei hohen Zahlen wie 369, wenn man bei 2 anfängt rechnet man ewig und es entstehen auf jeden Fall lästige Brüche. |
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| 20.01.2025, 13:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt eine (algebraische) Rechenvorschrift für das Ziehen einer Quadratwurzel. Sie beruht auf der Umkehrung der binomischen Formel für das Quadrat. Zu meiner Zeit - als es weder Taschenrechner noch Computer gegeben hat - war diese Methode essentiell. Daher kann ich sie jetzt noch auswendig. Alternativen gab es mittels Rechenschieber (was ist denn das??) oder eben mittels Logarithmen-Tabellen (?auch so ein unbekanntes Mysterium?) 
3,69 ... vom Dezimalpunkt in 2er-Blöcken teilen >> 03,69|00|00|00 ..... Von vorne - von 03 die größtmögliche Quadratzahl abziehen, deren Wurzel anschreiben Wurzel(3,69) = 1,... bleibt 2, unter die 3 schreiben, die nächsten 2 Stellen von oben (von der gegebenen Zahl) anhängen ......... -1 --------------------------- .......... 26|9 : 2 die letzte Stellle 9 vorläufig abtrennen, dann Division durch das Doppelte des rechts stehenden bisherigen Ergebnisses, ungefähren Quotienten an die 2 anhängen >> 9 (nicht 13, denn es soll sich dann ausgehen), mit dieser 9 multiplizieren, dann subtrahieren (wie bei normaler Division) .......... 269 : 29 * 9 ------ - 261 -------------- ........... 8 Rest; weiter, 2 Stellen 00 anhängen, das Verfahren geht weiter wie oben Wurzel(3,69) = 1,9... .......... 269 : 29 * 9 ------ - 261 ------------------------- ......... 80|0 die letzte Stelle 0 abtrennen 80 : 38 = 2 ......... 800 durch 382 dividieren (das bisherige Ergebnis 192 mal 2) Wurzel(3,69) = 1,92... .......... 800 : 382 * 2 ------ - 764 ------------------------------- ... Rest 36 (00 angehängt) : 384 (192 doppelt) = 0, deswegen nochmals 00 anhängen --------- 36000|0: 38409* 9 (3840 in 36000 geht 9 mal; 9 an den Divisor anhängen, mal 9) .......,. - 345681 -------------------------- ........... 143190|0 : 384183*3 (3 an den Divisor anhängen, mal 3 .......... - 1152549 -------------------------- .............. 279351 Rest Wurzel(3,69) = 1,920937... ........... 2793510|0 : 3841867*7 .............1042031 Rest Das Verfahren kann beliebig lange fortgesetzt werden. mY+ |
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| 26.01.2025, 17:31 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist da noch eine Methode aus der Zeit der mechanischen Rechenmaschinen (z.B. Sprossenradmaschinen) bekannt, bei der die Wurzel durch das Herunterzählen (schrittweises Subtrahieren) von ungeraden Zahlen berechnet wurde, indem am Ende die Anzahl der Kurbelbewegungen am Umdrehungszählwerk als Ergebnis genutzt wurde. Ganz kurzes Beispielschema mit : 19 – [ (1) – (3) – (5) – (7) ] = 3 bei 4 Operationen (Kurbelumdrehungen) positiver Rest x 100 = 300 für nächste Subtraktion: die letzte ungerade Zahl + 1, dann mal 10 und wiederum plus 1, also (7+1)*10+1=81 300 – [ (81) – (83) – (85) ] = 51 bei 3 Operationen positiver Rest x 100 = 5100 für nächste Subtraktion: die letzte ungerade Zahl + 1, dann mal 10 und wiederum plus 1, also (85+1)*10+1=861 5100 – [ (861) – (863) – (865) – (867) – (869) ] = 775 bei 5 Operationen etc. … Ergebnis der Kurbelumdrehungen je Stellenversatz: 4/3/5/… => Resultat 4,35 … Bei den mechanischen Rechenwerken kann dieser vereinfachte Algorithmus relativ schnell „durchgekurbelt“ werden, weil ja die zu subtrahierenden Einstellwerte im Rechenwerk (im späteren Verlauf!) im großen Ganzen beibehalten werden und lediglich um eine weitere Stelle ergänzt werden müssen, wenn das Ergebnis um eine Stelle besser sein soll. Die Rechenmaschine, je nach Ausführung, setzt dann die Grenze für die zu berechnende Stellenanzahl. Das Rechenschema kann natürlich auch handschriftlich erfolgen, wird dann aber mit jedem weiteren Schritt sehr aufwändig und ermüdend. Das Rechenbeispiel für ist in der Anlage dokumentiert. Gruß Conny. |
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| 27.01.2025, 15:12 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab eine frühe Kindheitserinnerung an so eine Sprossenradmaschine (da war ich ein Dreikäsehoch, muss ungefähr 50 Jahre her sein), und zwar nicht im Museum sondern tatsächlich noch im aktiven (Wirtschafts-)Gebrauch - war einige Jahre vor Einzug der Tisch- und dann Taschenrechner. Wenn ich mich recht erinnere konnten das Ding von Haus aus pro Einzelschritt nur addieren/subtrahieren, d.h., selbst für Multiplikation musste man schon entsprechend oft kurbeln (d.h. pro Dezimalstelle des Faktors dann bis zu neunmal). Wurzeln hab ich damit damals aber bestimmt nicht gezogen - aber wie man an deinem Algorithmus sieht, wird da ja auch im wesentlichen nur subtrahiert (wenn auch mit ansteigenden ungeraden Subtrahenden) und dann Dezimalstellen verschoben. 
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| 27.01.2025, 18:45 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da ich ja 69-er Baujahr bin, habe ich diese wuchtigen Rechenmaschinen in meiner Schulzeit auch nicht mehr miterlebt. Auch die Zeit der Rechenschieber war da schon passé. Ich habe daher (bis hinein in die 9.Klasse) viel mit den „Mathematischen Tafeln“ und Interpolations-Linealen von Helmut Sieber gearbeitet bis mich mein Mathe-Lehrer dazu aufforderte, endlich mal einen Taschenrechner zu benutzen, trotz der Tatsache, dass ich ohne TR mindestens so schnell war wie meine Klassenkameraden mit TR. Lang ist’s her! Aber noch einmal zurückkommend zum Wurzelziehen mit einer mechanischen Rechenmaschine. Hier muss ich noch einmal nachbessern und die Empfehlung aussprechen, dass man doch lieber mit den ungeraden Zahlen auf den Radikand hochzählt anstatt runterzählt. Grund: Viele der damaligen Rechenmaschinen konnten negative Zahlen nicht direkt anzeigen. Und wenn man nur subtrahiert, dann steht im Umdrehungszählwerk statt 1|92|09|37 dann die invertierte Darstellung 8|07|90|63, was nicht so vorteilhaft ist. Mit meiner „Brunsviga 13 ZK“ (13 Stellen in der Resultatsanzeige) habe ich das angenäherte Ergebnis 1.9204 in 87 Sekunden herbeikurbeln können. Gute Kopfrechner können das bestimmt schneller
Gruß Conny |
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| 29.01.2025, 16:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na gut, wenn wir "alten" Leute hier im Forum von früher erzählen - einer geht noch: Hab an anderer Stelle hier im Forum schon mal erzählt, dass ich zum letzten Jahrgang gehöre, der im DDR-Schulunterricht noch den Rechenstab kennengelernt hatte. Erst in der 10.Klasse fand dann ein Übergang statt: D.h. Winkelfunktionswerte erst noch mit Tafelwerk bestimmt, später dann aber doch mit Taschenrechner.
Bei manchem waren dann aber bereits nach kürzester Zeit die Kopfrechenfähigkeiten verkümmert: Kann mich erinnern, wie ein Klassenkamerad (hochintelligenter Mensch, erfolgreich bei Physikolympiaden) bei der superschweren Multiplikationsaufgabe zum Taschenrechner griff.
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| 29.01.2025, 17:04 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Echt, ist doch total simpel, man darf nur nicht vergessen, die 0 am Ende anzuhängen.. 2*10 = 1010 + 0 = 10100 
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