Stammfunktion bilden / Integralrechnung

20.01.2025, 09:49

Kognitivist

Stammfunktion bilden / Integralrechnung

Meine Frage:
In Meyberg & Vachenauer, Höhere Mathematik I, S. 168 wird folgende Aufgabe (1) zur Integralrechnung gestellt:

Zu berechnen ist das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! \sqrt{1-t^{8} } \, dt \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \in \left[-1,1 \right] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist schon klar, dass ich irgendwie auf die Stammfunktion, also die
"umgekehrte Ableitung", von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1- t^{8} } \end{eqnarray*}$ kommen muss.

Für $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ wäre das auch kein Problem, denn es ergäbe sich ganz einfach $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \left(1+x\right) ^{\frac{3}{2} } mal (1) \end{eqnarray*}$ , weil ich die Kettenregel beachten muss und der Term unter der Wurzel halt auch abgeleitet werden muss. Genau das macht es für mich schwierig, die Stammfunktion herzuleiten,
denn ich muss in der Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} t^{9} \end{eqnarray*}$ unterbringen, um $\begin{eqnarray*} t^{8} \end{eqnarray*}$ zu erhalten, der Term muss aber auch gleichzeitig wieder am Schluss "verschwinden".....

Wer kann weiter helfen? Oder habe ich die Aufgabe völlig falsch verstanden? P.S. im Internet werden "Stammfunktionen-Rechner" angeboten, und bei der von mir eingegebenen Formel spuckt er mir keine Lösung aus....

20.01.2025, 10:28

HAL 9000

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Diese Integralfunktion hier ist nicht "geschlossen" angebbar, d.h. durch endlich viele Verknüpfungen mit den üblichen Funktionen (Grundrechenarten, Logarithmen und Winkelfunktionen sowie deren Umkehrfunktionen).

Was man machen kann, ist z.B. die Reihendarstellung dieser Integralfunktion anzugeben: Mit dem laut Binomischer Reihe für $\begin{eqnarray*} |t|<1 \end{eqnarray*}$ gültigem

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1-t^8} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\frac{1}{2}}{k}\cdot \left(-t^8\right)^k = 1 - \frac{t^8}{2} - \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} t^{8k} \end{eqnarray*}$

bekommt man $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^x \sqrt{1-t^8} ~ \dd t = x - \frac{x^9}{18} - \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(2k-3)!!}{(8k+1)\cdot (2k)!!} x^{8k+1} \end{eqnarray*}$ .

Die Doppelfakultäten kann man auch noch in einfache Faktultäten umwandeln bzw. zusammengefasst dann auch wieder mit gewöhnlichen Binomialkoeffizienten schreiben, wenn man das will.

20.01.2025, 11:18

Kognitivist

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Okay, danke.

Angesichts des komplizierten Ergebnisses muss ich wohl davon ausgehen, dass ich die Aufgabenstellung falsch verstanden habe bzw. ein Druckfehler vorliegt, denn die einfachste der Beispielaufgaben zur Integralrechnung im Lehrbuch dürfte sicherlich nicht so gelöst werden können.

Ich gucke nochmals drüber ob ich was übersehen habe.

20.01.2025, 13:26

willyengland

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In der Aufgabe steht, man soll die Ableitungen berechnen: F'(x) und F''(x).

20.01.2025, 13:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
In der Aufgabe steht, man soll die Ableitungen berechnen: F'(x) und F''(x).

Ein nicht unwichtiges Detail... Big Laugh

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