Hahn Banach

25.01.2025, 13:03	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hahn Banach Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} V = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ausgestattet mit der üblichen euklidischen Norm und betrachten Sie den linearen Teilraum $\begin{eqnarray} W = \{ x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \mid x_1 - 2x_2 = 0 \} \end{eqnarray}$ . Wir definieren das Funktional $\begin{eqnarray} \phi : W \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} <br /> \phi(x) = x_1. \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, es existiert eine eindeutige Hahn-Banach-Fortsetzung $\begin{eqnarray} \Phi \in V' \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} <br /> \phi \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Fortsetzung $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ ist auf $\begin{eqnarray} V = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und wird durch ein lineares Funktional beschrieben, das die Form: $\begin{eqnarray} \Phi(x_1, x_2) = a x_1 + b x_2 \end{eqnarray}$ hat, wobei die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ zu bestimmen sind. Nun muss $\begin{eqnarray} \Phi\|_W = \phi \end{eqnarray}$ , d.h. auf dem Unterraum $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ gilt für jedes $\begin{eqnarray} x = (x_1, x_2) \in W \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} x_1 = 2x_2 \end{eqnarray}$ . Daher muss die Fortsetzung $\begin{eqnarray} \Phi(x_1, x_2) \end{eqnarray}$ in dieser Form übereinstimmen: $\begin{eqnarray} \Phi(x_1, x_2) = a x_1 + b x_2 = 2a x_2 + b x_2 = (2a + b) x_2. \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} <br /> \phi(x_1, x_2) = x_1 = 2x_2 \end{eqnarray}$ , muss also gelten: $\begin{eqnarray} 2a + b = 2. \end{eqnarray}$ Weiterhin ist: $\begin{eqnarray} \|\|\phi\|\|_{W'} = \frac{2}{\sqrt{5}}. \end{eqnarray}$
25.01.2025, 16:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hahn Banach Du hast also $\begin{eqnarray} 2a + b = 2 \end{eqnarray}$ und die zweite Bedingung ist $\begin{eqnarray} \sup_{x_1^2 + x_2^2 = 1} \|ax_1 + bx_2\| = \sup_{x_1^2 + x_2^2 = 1} (ax_1 + bx_2)= \frac 2 {\sqrt 5} \end{eqnarray}$ . Damit kannst das Paar finden. Ich vermute es reicht die beiden Stellen $\begin{eqnarray} a_{1,2} = \frac { a'_{1,2}} {\|a'_{1,2}\|} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1' = (-1, 2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2' = (1, -2) \end{eqnarray}$ zu untersuchen und dort zu minimieren. Hintergrund: Der Vektor $\begin{eqnarray} (-1,2) \end{eqnarray}$ ist orthogonal zu $\begin{eqnarray} (2,1) \end{eqnarray}$ welchen den Raum $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ aufspannt.
25.01.2025, 20:49	Bobby Fischer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich kann dir nicht ganz folgen. Man muss doch auch zeigen, dass man für alle anderen Punkte auf dem Einheitskreis keine Fortsetzung finden kann oder?
26.01.2025, 09:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast schon gezeigt, dass alle Wahlen mit $\begin{eqnarray} 2a +b = 2 \end{eqnarray}$ eine Fortsetzung von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ liefern, auf zwar auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Hahn-Banach sagt es gibt genau eine Kombination von $\begin{eqnarray} (a,b) \end{eqnarray}$ , so dass die Operatornorm von der Fortsetzung nicht größer wird. So könntest du z.B. sagen $\begin{eqnarray} \Phi(x_1, x_2) = x_1 \end{eqnarray}$ . Offensichtlich eine Fortsetzung. Aber $\begin{eqnarray} \\| \Phi \\| = \sup_{x_1^2 + x_2^2 = 1} \|x_1\| \geq 1 = \frac 2 {\sqrt 4} > \frac 2 {\sqrt 5} \end{eqnarray}$ . D.h. die Wahl erhöht die Operatornorm. An dem Beispiel sieht man aber auch schon, dass meine Vermutung wohl nicht stimmte. Wenigstens wenn ich mich nicht vertue ist $\begin{eqnarray} \| \Phi(a_{1,2})\| = \\| \phi \\| \end{eqnarray}$ und damit nicht das "extremalste" der Norm.

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