Verständnisfragen zu Rechteckimpuls und Dirac-Stoß

26.01.2025, 18:14	CatDespair	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfragen zu Rechteckimpuls und Dirac-Stoß Hallo Welt, in einem Skript der TU Wien zum Thema Bildverarbeitung bin ich auf nachfolgende Textpassage gestoßen zu der sich mir einige (viele) Fragen auftun: "Beim Auftreten einer perfekten Reflexion des Lichtes kann die Punktstreufunktion (PSF) als Delta Dirac Impulsfunktion $\begin{eqnarray} \delta() \end{eqnarray}$ angesehen werden. Sie stellt, wenn man sie als Bild betrachtet, einen einzigen hellen Punkt (mit dem Wert 1 am Ursprung des Koordinatensystems) dar und ist von einer unendlichen, schwarzen Fläche umgeben." Was ist hier mit "Wert" gemeint ?. Dass der Dirac-Stoß eine Fläche von 1 hat und seine Amplitude $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ist, ist bekannt. Ist in dem Kontext eine Gewichtung gemeint ? Direkt im Anschluss wird weiter ausgeführt: "Wir beginnen mit der Definition einer Rechteckfunktion: $\begin{eqnarray} \text{rect}(x,y) =\begin{cases}1, & \text{für } \|x\| \leq \frac{1}{2} \text{und } \|y\| \leq \frac{1}{2} \\ 0, & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ " Was ist hier mit der 1 gemeint ? Ich kann mir denken dass jeder Punkt P(x,y) in den oben beschriebenen Grenzen den Wert 1 hat. Jetzt frage ich mich aber wieder wie das Wort "Wert" an sich definiert ist. Zudem habe ich Schwierigkeiten mir das in einem XY-Koordinatensystem zu visualisieren, denn, ganz egal ob ich als Wert 1 oder 1000 nehme, mein Graph würde doch exakt gleich aussehen oder nicht ? Fortgefahren wird mit "Für die Delta Dirac Funktion gilt: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty } \! \int_{0}^{\infty } \! \text{rect(x,y)} dx dy = 1 \end{eqnarray}$ was interpretiert wird als immer kleinere Fenster (Rechtecke) bei gleichbleibender Gesamtintensität. " Was hat es mit den unteren Grenzen der Integrale auf sich ? Von der obigen Definition eines Rechtecks ausgehend, würde das meiner Berechnung nach, eine Fläche?? oder Gewichtung ?? von 0,25 ergeben. Müssten die unteren Grenzen nicht richtigerweise $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ sein? Der Interpretation stimme ich im übrigen auch nicht zu. Aber vielleicht bezieht sich dieser Halbsatz ja auf die nachfolgende Gleichung (ergibt durchaus mehr Sinn, siehe Anhang) Falls mir jemand helfen könnte die Knoten in meinem Kopf zu lösen, wäre ich sehr dankbar. Viele Grüße
28.02.2025, 22:59	RomanGa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zu Rechteckimpuls und Dirac-Stoß Hallo CatDespair. Ich stelle deine erste Frage zurück und fange mit deiner zweiten an. Es ist von Vorteil, wenn du dir die Funktion rect(x, y) bildlich vorstellen kannst. Dies ist eine Funktion von zwei Veränderlichen. Ich zeichne sie hier für dich. Die Veränderlichen sind x und y. Der Funktionswert ist z = rect(x, y). Wir haben eine Funktion von R^2 nach R. Diese können wir in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnen. Zu deiner dritten Frage: Das ist ein Fehler im Skript. Die unteren Grenzen müssen minus unendlich sein. Sie dürften nur bei null liegen, wenn rect(x, y) anders definiert wäre. Jetzt zu deinem Skript allgemein. Der Halbsatz „Für die Delta Dirac Funktion gilt $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty rect(x, y)dxdy=1 \end{eqnarray}$ ist unlogisch, denn die Dirac Funktion kommt in dieser Formel gar nicht vor. Sag Bescheid, wenn ich die Aussagen im Skript besser und verständlicher formulieren soll. Wenn du dieses Skript nicht verstehst, liegt es nicht an dir.

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