"Multiple Intervallschachtelungen" rationaler Zahlen |
| 27.01.2025, 15:01 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Multiple Intervallschachtelungen" rationaler Zahlen
:zwischen 0 und 1 liegen doch abzählbar unendlich viele rationale Zahlen und zwischen zwei rationalen Zahlen immer eine weitere.. Wenn ich jetzt mit 0 und 1 starte und folgende Konstruktionsvorschrift (abzählbar unendlich) definiere: "Zwischen jeweils zwei gewählten rationalen Zahlen wähle eine weitere rationale Zahl." Welche Mächtigkeit hat diese Menge dann im Limes? |
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| 27.01.2025, 16:03 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: "Multiple Intervallschachtelungen" rationaler Zahlen Die Konstruktion, die du beschreibst, ähnelt einem Verfahren, bei dem durch fortgesetztes Einfügen rationaler Zahlen zwischen jede bereits gewählte rationale Zahl eine weitere rationale Zahl eingefügt wird. Diese Technik erzeugt eine immer dichtere Anordnung von rationalen Zahlen. Lassen wir uns den Vorgang schrittweise betrachten: Start mit 0 und 1: Du beginnst mit den beiden rationalen Zahlen 0 und 1. Die Menge der rationellen Zahlen zwischen 0 und 1 ist abzählbar unendlich. Einfügen von Zahlen: Du fügst dann zwischen jeder Paarung von benachbarten rationalen Zahlen eine weitere rationale Zahl hinzu. Zum Beispiel, zwischen 0 und 1 könnte 1/2 eingefügt werden, zwischen 0 und 1/2 könnte 1/4 eingefügt werden, und so weiter. Fortsetzung des Prozesses: Dieser Vorgang geht so lange weiter, dass zwischen jedem noch nicht ausgewählten Paar rationaler Zahlen eine neue eingefügt wird. Das führt zu einer immer dichteren Verteilung der rationalen Zahlen, da wir immer weiter in jede Lücke eine weitere Zahl einfügen. Am Ende dieser Konstruktion ist die resultierende Menge zwar weiterhin abzählbar unendlich, weil jede rationale Zahl weiterhin eindeutig nummeriert werden kann. Auch wenn wir unendlich viele Schritte in die Konstruktion einfließen lassen, bleibt die Mächtigkeit der Menge der rationalen Zahlen abzählbar unendlich (also die gleiche Mächtigkeit wie die der natürlichen Zahlen, NN). Mächtigkeit im Limes: Die Mächtigkeit der Menge wird also nicht über die abzählbare Unendlichkeit hinausgehen. Der Limes der Menge bleibt also abzählbar unendlich, was bedeutet, dass sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen NN. Für eine nicht abzählbare Menge (wie die der reellen Zahlen) wäre es notwendig, dass zwischen zwei beliebigen Elementen der Menge unendlich viele Elemente eingefügt werden, sodass keine Möglichkeit besteht, die Menge abzählbar zu machen. Da du jedoch in jedem Schritt eine rationale Zahl hinzufügst, bleibt die Menge abzählbar. Das sagt meine KI dazu. Vlt. hilft es weiter oder liefert Anregungen. Oder es ist fehlerhaft oder ... |
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| 27.01.2025, 16:25 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: "Multiple Intervallschachtelungen" rationaler Zahlen
Naja, deine KI in Ehren, aber werden so nicht zwischen beliebigen rationalen Zahlen (abzählbar) unendlich viele Zahlen eingefügt? Wie zwischen 0 und 1/2 oder 1/2 zwischen 1 oder 0 zwischen 1/4 und 1/4 zwischen 1/2 und so weiter?
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| 27.01.2025, 16:31 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Allerdings könnte "beliebig" im Sinne von allen noch eine tiefere Bedeutung haben..?! |
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| 27.01.2025, 16:37 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage ist dann, ob man mit der abzählbar unendlichen Konstruktionsvorgabe dann nicht alle abzählbar unendlich rationale Zahlen erwischt
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| 27.01.2025, 17:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie auch immer die Konstruktionsvorschrift aussieht, man erhält auf jeden Fall abzählbar unendlich viele rationale Zahlen zwischen 0 und 1. Mehr rationale Zahlen gibt es nicht, also auch zwischen 0 und 1 nicht. Wenn man eine beliebige Konstruktinsvorschrift wählt, erhält man im allgemeinen nicht alle rationale Zahlen zwischen 0 und 1. Wenn man ganz bewußt eine geeignete Konstruktionsvorschrift wählt, erhält man alle rationalen zwischen 0 und 1. |
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| 27.01.2025, 17:27 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vermutlich hast du Recht, weil die Konstruktionsvorschrift nur die "Schnitte" abzählbar rationaler Zahlen schaffen kann, aber eben nicht aller. Aber nicht zu 100% für mich, muss noch meinen Knoten ganz lösen
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| 27.01.2025, 18:51 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nimm eine Abzählung der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 und konstruiere die multiplen Intervallschachtelungen so, dass stets die rationale Zahl mit kleinstem Index n in jedem Intervall gewählt wird. Das ergibt notwendig alle rationalen Zahlen zwischen 0 und 1. |
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| 28.01.2025, 09:00 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine elegante Aufzählung aller positiven rationalen Zahlen liefert der Stern-Brocot-Baum, wo wirklich jede dieser Zahlen genau einmal vorkommt. |
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| 28.01.2025, 10:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr schön, das kannte ich noch nicht. Ich dachte einfach an irgend einen konstruktiven Beweis dafür, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind. Wenn der Beweis konstruktiv ist, dann hat man eine Aufzählung, die man benutzen kann. Vielleicht hätte ich noch erwähnen sollen, dass spätestens im n-ten Schritt der multiplen Intervallteilung auftreten muss, deshalb erwischt man notwendig alle rationalen Zahlen. |
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| 28.01.2025, 11:22 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab ich auch erst durch Hinweis von Finn_ hier im Board kennengelernt: Bisektion mit Medianten |
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| 28.01.2025, 11:58 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: "Multiple Intervallschachtelungen" rationaler Zahlen
Was meinst du hier mit Limes? Wenn du die Menge aller Folgen definierst und dich dann fragst: Für welche existieren mit in der euklidischen Metrik, so vermute ich als Grenzwerte. Wenn du Limes anders auffasst, wird sich vermutlich auch die Mächtigkeit ändern. |
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