Länge bis zum Radius von exzentrischem Drehpunkt

30.01.2025, 15:09

Maltem123

Länge bis zum Radius von exzentrischem Drehpunkt

Meine Frage:
Hallo, ich würde gerne wissen, wie ich die Länge der in Rot gekennzeichneten Linie rechnerisch ermittel.

Vielen Dank

Meine Ideen:
Ich habe es mit den Winkelfunktionen probiert, bin aber nicht weiter gekommen.

30.01.2025, 16:07

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein möglicher Ansatz.

Kreis in ein $\begin{align*} xy \end{align*}$ -Koordinatensystem um den Ursprung legen:

Kreis:
$\begin{align*} x^2 + y^2 = 300^2 \end{align*}$

Gerade durch $\begin{align*} A = \left( 0 , 100 \right) \end{align*}$ mit 80°-Steigungswinkel zur Horizontalen:
$\begin{align*} y = 100 + x \cdot \tan(80^{\circ}) \end{align*}$

Gerade und Kreis miteinander schneiden. Schnittpunkt $\begin{align*} B \end{align*}$ mit positivem $\begin{align*} x \end{align*}$ -Wert ist der obere Randpunkt der roten Strecke.

Länge der Strecke $\begin{align*} AB \end{align*}$ berechnen.

Das führt auf jeden Fall zum Ziel, liefert aber keinen "schönen" Lösungsterm für die Länge $\begin{align*} d \end{align*}$ der roten Strecke, zum Beispiel:

$\begin{align*} d = 100 \sqrt{2 \cdot \left( 4+\sin^2(80^{\circ}) - \sqrt{8+\sin^2(80^{\circ})} \cdot \sin(80^{\circ}) \right)} \end{align*}$

30.01.2025, 18:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich normale Dreiecksberechnung SsW mit $\begin{eqnarray*} b=100,c=300,\gamma=170^{\circ} \end{eqnarray*}$ :

1.Möglichkeit: $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ mit Sinussatz berechnen, dann $\begin{eqnarray*} \alpha = 180^{\circ}-\gamma-\beta = 10^{\circ}-\beta \end{eqnarray*}$ , dann das gesuchte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ über Sinussatz.

2.Möglichkeit: Über Kosinussatz $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als positive Lösung der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} a^2-2ab\cos(\gamma) + b^2 - c^2 = 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Letzteres entspricht im wesentlichen Leopolds Lösung, nur dass man dort die äußere Wurzel auflösen kann:

$\begin{eqnarray*} d = a = 100\left[\sqrt{8+\sin^2\left(80^{\circ}\right)}-\sin\left(80^{\circ}\right)\right] \end{eqnarray*}$

P.S.: Wenn man die in der obigen Skizze rote Strecke nach unten verlängert und dann im rechten Winkel zum Kreismittelpunkt hin abbiegt, kann man die Wegstrecke

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{c^2-b^2\cos^2(\delta)} - b\sin(\delta) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \delta = \gamma-90^{\circ} = 80^{\circ} \end{eqnarray*}$

auch ziemlich direkt durch eine Streckendifferenz sehen.

01.02.2025, 19:15

Maltem123

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich danke euch beiden für die schnellen Antworten.

Ihr habt mir schon echt weitergeholfen smile

Wie würde sich die Formel denn ändern, wenn man entweder den Radius oder den Abstand zum Mittelpunkt verändert ?

Tut mir leid, wenn ich eventuell Fragen stelle, die sehr simpel zu beantworten sind. smile

Ich bin nicht sonderlich gut in Mathe, aber versuche mir gerade etwas bauen, bei dem ich diese Berechnung benötige.

Ich danke euch sehr und meinen größten Respekt!

Malte

01.02.2025, 19:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Maltem123
Wie würde sich die Formel denn ändern, wenn man entweder den Radius oder den Abstand zum Mittelpunkt verändert ?

Die angegebene Formel

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{c^2-b^2\cos^2(\delta)} - b\sin(\delta) \end{eqnarray*}$

ändert sich gar nicht. Ich wiederhole nochmal, welche Werte für dein Originalbeispiel einzusetzen sind: $\begin{eqnarray*} c=300,b=100,\delta=80^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Länge bis zum Radius von exzentrischem Drehpunkt

Verwandte Themen