Der Projektionssatz

04.02.2025, 21:24	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Projektionssatz Es geht um den sog. Projektionssatz bei Deiser. Den verstehe ich nur bedingt, weil er mir zu roh herkommt. [attach]58091[/attach] Daher habe ich einen längere Version erstellt, die mehr erklärt und die Schritte nicht überspringt, die zum Nachvollziehen notwendig sind. Ich will nun gern wissen, ob diese Version in Ordnung oder fehlerhaft ist. Meine Frage wurde auf Matheplanet noch nicht beantwortet, daher versuche ich es einmal hier: Satz: Sei $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ eine Funktion wie im ZFC-Ersetzungsschema. Sei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ injektiv, d.h. $\begin{eqnarray} \varphi(x_1,y) \land \varphi(x_2,y) \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} x_1 = x_2 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine echte Klasse. Sei $\begin{eqnarray} \{ y \mid \exists x: x \in A \land \varphi(x,y) \} \subseteq B \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ eine echte Klasse. Beweis: Wir nehmen an, $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sei eine Menge, d.h. $\begin{eqnarray} B \in V \end{eqnarray}$ . Gleiches gilt dann für $\begin{eqnarray} C = \{ y \mid \exists x: x \in A \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ , denn es wäre eine ZFC-Aussonderung aus $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Wir definieren eine Formel $\begin{eqnarray} \psi(y,x) \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} y \in C \land \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y \notin C \land x = \emptyset \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Injektivität von $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} \psi(y,x) \end{eqnarray}$ ) eine Funktion. Weil C eine Menge ist, so ist wegen des ZFC-Ersetzungsschemas auch das eine Menge, was C‘s Elemente 1:1 durch andere Elemente ersetzt. Das tut {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \psi(y,x) \end{eqnarray}$ }. Weiterhin gilt {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \psi(y,x) \end{eqnarray}$ } = {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ }, denn die erste Menge ist per definitionem von $\begin{eqnarray} \psi(y,x) \end{eqnarray}$ für den Fall y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C nichts anderes als {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ }. Auch {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ } ist daher eine Menge. Nun ist aber $\begin{eqnarray} A = \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ ; der Beweis erfolgt durch Einsetzung in das Theorem, wonach $\begin{eqnarray} A \supseteq B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \subseteq A \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} A = B \end{eqnarray}$ . (1) $\begin{eqnarray} A \subseteq \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ Zu jedem x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A gibt es ein y mit $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eine Funktion ist, die unbeschränkt gilt, d.h. unter anderem für alle Elemente aus A. Aufgrund der Definition von C folgt aus x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A und $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ , dass y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C. Aus y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C und $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ folgt aber $\begin{eqnarray} \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ , d.h. diese Menge beinhaltet letztendlich alle Elemente von A. (2) $\begin{eqnarray} A \supseteq \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \in \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ gdw. y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C mit $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ . y ist Element von C gdw. x‘ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A mit $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (x',y). Weil $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ injektiv, so folgt x = x‘, so dass x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A oder o.g. Menge ist leer; in beiden Fällen folgt trivial (2). Das ist aber ein Widerspruch, denn $\begin{eqnarray} \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ ist eine Menge und wenn A = $\begin{eqnarray} \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ , dann wäre A ebenfalls Menge, im Widerspruch zur Annahme, so dass sich die Annahme zu B als falsch herausstellt und somit B keine Menge, sondern echte Klasse ist (denn Klasse ist B immer).
05.02.2025, 11:00	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorweg mal eine alternative Sichtweise auf den Sachverhalt. Man kann das Mengenuniversum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ als Grothendieck-Universum $\begin{eqnarray} U:=V_\kappa \end{eqnarray}$ innerhalb von ZFC zuzüglich der Existenz der unerreichbaren Kardinalzahl $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ modellieren. Dann sind Klassen schlicht die Elemente der Potenzmenge $\begin{eqnarray} P(U). \end{eqnarray}$ Der Aussage $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ entspricht hierbei $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ zu einer Injektion $\begin{eqnarray} f\colon U\to U. \end{eqnarray}$ Der Projektionssatz besagt in dieser Form nun, dass $\begin{eqnarray} B\notin U \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} f[A]\subseteq B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A\notin U \end{eqnarray}$ folgt. Der Beweis nimmt die folgende Gestalt an. Angenommen, es gilt $\begin{eqnarray} B\in U. \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} P(B)\in U \end{eqnarray}$ gemäß Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ bezüglich Potenzmengenbildung, und daraufhin $\begin{eqnarray} P(B)\subseteq U, \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ eine transitive Menge ist, siehe die Axiome für Grothendieck-Universen. Mit der zweiten Voraussetzung $\begin{eqnarray} f[A]\in P(B) \end{eqnarray}$ folgt also $\begin{eqnarray} f[A]\in U. \end{eqnarray}$ Laut der ersten Voraussetzung ist die als $\begin{eqnarray} f_{\mathrm{res}}\colon U\to C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_{\mathrm{res}}(x):=f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C:=f[A] \end{eqnarray}$ definierte Restriktion bijektiv; deren Umkehrabbildung sei $\begin{eqnarray} g\colon C\to U. \end{eqnarray}$ Der Aussage $\begin{eqnarray} \psi(y,x) \end{eqnarray}$ entspricht nun $\begin{eqnarray} x = g(y), \end{eqnarray}$ sofern man $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(y):=\emptyset \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y\notin C \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ fortsetzt, so dass man eine der denkbaren Linksinversen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ erhält. Wegen $\begin{eqnarray} C\in U \end{eqnarray}$ haben wir $\begin{eqnarray} g[C]\in U, \end{eqnarray}$ denn $\begin{eqnarray} \textstyle g[C] = \bigcup_{i\in I}x_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i:=\{g(i)\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I:=C, \end{eqnarray}$ siehe das letzte Axiom für Grothendieck-Universen. Des Weiteren gilt $\begin{eqnarray} g[C] = g[f[A]] = (g\circ f)[A] = \operatorname{id}[A] = A. \end{eqnarray}$ Wir haben also $\begin{eqnarray} A\in U, \end{eqnarray}$ was im Widerspruch zur letzten Voraussetzung steht.
05.02.2025, 11:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Pippen: Wo bei Deiser steht der Projektionssatz? Warum heißt er so? Welche Bedeutung hat er? Dein erster Fehler besteht darin, dass du "funktionale Formel" im Satz durch "Funktion" ersetzt. Damit kann nichts sinnvolles mehr daraus entstehen, deshalb habe ich sofort aufgehört zu lesen. Offensichtlich hast du noch nicht verstanden, was eine Funktion ist.
05.02.2025, 19:44	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
@Finn: Kannst du mir helfen und meinen Beweis korrigieren und durchsehen. Ich bin schon damit "im roten Drehzahlbereich"; ich will mich daher auf das konzentrieren, was ich schon verstehe. Mein Beweis sollte ziemlich nah am dem sein, was Deiser schreibt, siehe Bild. Es sollte nur noch um eher Kleinigkeiten gehen.
06.02.2025, 01:35	Pippen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Konzept der funktionalen Formel kannte ich noch nicht. Ich dachte wirklich, dass funktionale Formel = Funktion. Ich habe daraufhin den Beweis angepasst. Wie sieht er jetzt aus? Satz: Sei $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ eine funktionale Formel wie im ZFC-Ersetzungsschema (d.h. allen x wird genau ein y zugeordnet; bei einer Funktion wird nicht jedem x notwendig ein Funktionswert zugeordnet, zB bei 1/x für x = 0). Sei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ injektiv, d.h. $\begin{eqnarray} \varphi(x_1,y) \land \varphi(x_2,y) \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} x_1 = x_2 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine echte Klasse. Sei $\begin{eqnarray} \{ y \mid \exists x: x \in A \land \varphi(x,y) \} \subseteq B \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ eine echte Klasse. Beweis: Wir nehmen an, $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sei eine Menge, d.h. $\begin{eqnarray} B \in V \end{eqnarray}$ . Gleiches gilt dann für $\begin{eqnarray} C = \{ y \mid \exists x: x \in A \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ , denn es wäre eine ZFC-Aussonderung aus $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Wir definieren eine Formel $\begin{eqnarray} \psi(y,x) \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} y \in C \land \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y \notin C \land x = \emptyset \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Injektivität von $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} \psi(y,x) \end{eqnarray}$ ) eine funktionale Formel. Weil C eine Menge ist, so ist wegen des ZFC-Ersetzungsschemas auch das eine Menge, was C‘s Elemente 1:1 durch andere Elemente ersetzt. Das tut {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \psi(y,x) \end{eqnarray}$ }. Weiterhin gilt {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \psi(y,x) \end{eqnarray}$ } = {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ }, denn die erste Menge ist per definitionem von $\begin{eqnarray} \psi(y,x) \end{eqnarray}$ für den Fall y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C nichts anderes als {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ }. Auch {x \| $\begin{eqnarray} \exists y \in C \land \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ } ist daher eine Menge. Nun ist aber $\begin{eqnarray} A = \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ ; der Beweis erfolgt durch Einsetzung in das Theorem, wonach $\begin{eqnarray} A \supseteq B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \subseteq A \end{eqnarray}$ impliziert $\begin{eqnarray} A = B \end{eqnarray}$ . (1) $\begin{eqnarray} A \subseteq \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ Zu jedem x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A gibt es ein y mit $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ . Aufgrund der Definition von C folgt aus x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A und $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ , dass y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C. Aus y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C und $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ folgt aber $\begin{eqnarray} \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ , d.h. diese Menge beinhaltet letztendlich alle Elemente von A. (2) $\begin{eqnarray} A \supseteq \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \in \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ gdw. y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ C mit $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ . y ist Element von C gdw. x‘ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A mit $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (x',y). Weil $\begin{eqnarray} \varphi(x,y) \end{eqnarray}$ injektiv, so folgt x = x‘, so dass x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A oder o.g. Menge ist leer; in beiden Fällen folgt trivial (2). Das ist aber ein Widerspruch, denn $\begin{eqnarray} \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ ist eine Menge und wenn A = $\begin{eqnarray} \{ x \mid \exists y: y \in C \land \varphi(x,y) \} \end{eqnarray}$ , dann wäre A ebenfalls Menge, im Widerspruch zur Annahme, so dass sich die Annahme zu B als falsch herausstellt und somit B keine Menge, sondern echte Klasse ist (denn Klasse ist B immer).
06.02.2025, 08:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktion ordnet jedem Element einer MENGE x genau ein Element einer MENGE y zu. Von Klassen ist dabei nicht die Rede. Welche Eigenschaften von Funktionen für funktionale Formeln im Sinne von (Ers) gelten und welche nicht, wäre genau zu klären, wenn man den Projektionssatz verstehen will. Die Gleichheit von Mengen oder Klassen wird durch das Extensionalitätsaxiom geregelt, nicht durch die wechselseitige Teilmengenrelation. Ich sehe hier keinen Bedarf für eine Teilklassenrelation. Wenn eine solche notwendig wäre, müsste man sie definieren, und vor dem Beweis wäre genau zu klären, wie eine solche Definition für Mengen und Klassen simultan gestaltet und verstanden werden kann. Das macht Deiser hinreichend ausführlich im Anhang seines Buches. Gut zu wissen, dass du jetzt über Deisers Axiomatische Mengenlehre und nicht mehr über seine Einführung in die Mengenlehre sprichst. Das hättest du zu Beginn sagen sollen, denn es gehört dazu, bei Zitaten die Quelle anzugeben. Den Beweis kann man sofort verstehen, wenn man das Buch bis dahin durchgearbeitet und verstanden hat: $\begin{eqnarray} A=\{x\|\varphi(x)\} \end{eqnarray}$ ist die allgemeine Klassenschreibweise, $\begin{eqnarray} A=\{x\|\exists y\in C\,\varphi(x,y)\} \end{eqnarray}$ ist die im Satz vorgegebene Klassenschreibweise entsprechend dem Ersetzungsschema. Die Mengengleichheit am Ende des Beweises ergibt sich ganz einfach dadurch, dass für $\begin{eqnarray} y\in C \end{eqnarray}$ per Definition gilt $\begin{eqnarray} \varphi(x,y)\leftrightarrow \psi(y,x) \end{eqnarray}$ . Ich verstehe nicht, warum dieser Satz Projektionssatz heißt und nicht Einbettungssatz, aber das hat vermutlich historische Gründe, die mir nicht bekannt sind. Man sollte nicht versuchen, einen Satz ohne Zusammenhang zu formulieren und zu beweisen, das kann nicht gutgehen. Schon im Vorwort macht Oliver Deiser deutlich, dass Axiome wichtig sind für das Verständnis der Methode von Definition, Satz und Beweis und dadurch die Klarheit und Genauigkeit der Mathematik auf eine neue Stufe gehoben wird. Das darf man nicht zerstören indem man um den heißen Brei herumredet und die klaren und genauen Begriffe verschwurbelt.
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08.02.2025, 10:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Matheplanet.com hat zippy unendlich viel Geduld mit Pippen , der immer weiter mit sinnlosen Fehlern nervt, obwohl hier längst alles geklärt ist. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke...hp?topic=266348

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