Semidefinite Hessematrix

09.02.2025, 14:42

MMchen60

Semidefinite Hessematrix

Mal angenommen, wir haben eine semidefinit positive Hessematrix einer 3x3 Matrix. Was muss ich jetzt tun, um festzustellen, ob es sch um einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt handelt? Habe leider kein Beispiel dazu und im Netz habe ich nichts gefunden.
Vielen Dank für Antwort.

09.02.2025, 16:11

mYthos

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Möglicherweise kann dieser Thread weiterführem, dort führt ein Link auf die sogenannte "geränderte" Hesse-Matrix, um damit die Bestimmung der Eigenwerte zu umgehen.
Die geränderte Matrix ist dann von Vorteil, wenn die Extremstellen mittels der Langrange-Funktion (Lagrange-Methode) ermittelt werden.
Siehe z.B. auch dort.

Du kannst deine Frage ja auch ausführlicher mit deiner Aufgabe beschreiben.

mY+

09.02.2025, 19:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Mal angenommen, wir haben eine semidefinit positive Hessematrix einer 3x3 Matrix. Was muss ich jetzt tun, um festzustellen, ob es sch um einen Tiefpunkt oder einen Sattelpunkt handelt?

Im Fall "positiv definit" ist alles klar: Tiefpunkt.

Daher gehe ich davon aus, dass deine Charakterisierung "positiv semidefinit" mit einem unausgesprochenen zusätzlichem "aber nicht positiv definit" zu verbinden ist, d.h. mindestens ein Eigenwert ist 0.

Da kommt man allein mit der Hesse-Matrix nicht weiter: Z.B. haben sowohl $\begin{eqnarray*} f_1(x,y)=x^2+y^4 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f_1(x,y)=x^2-y^4 \end{eqnarray*}$ im Ursprung dieselbe Hesse-Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ - bei $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ liegt ein Minimum vor, bei $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ aber ein Sattelpunkt.

D.h., mit Hesse allein ist keine Entscheidung möglich, es steht eine Einzeluntersuchung der Funktion an. Diese für den "allgemeinen Fall" zu schildern, vermag ich nicht zu leisten. Wobei es zumindest für "Sattelpunkt" noch eine relativ einfache Vorgehensweise gibt, basierend auf der Sattelpunkt-Definition:

Man muss nur in jeder Umgebung des kritischen Punktes $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ zwei Punkte $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} f\left(x_1\right) < f\left(x^*\right) < f\left(x_2\right) \end{eqnarray*}$ .

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