Extrempunkte und Ableitungen |
| 11.02.2025, 17:22 | Dulle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extrempunkte und Ableitungen Verstanden ist: Notw. Bed. für HP/TP ist f'(x)=0 Hinr. Bed. ist : wenn f'(x)=0 und f''(x0)<0 bzw. >0 Sollte f''(x0)=0 sein , dann kann man keine Aussagen treffen. 1. Wieso genau ist die 2. Ableitung von höheren Potenzfunktionen für f'(x0)=0 auch Null, wenn da ein Extrempunkt vorliegt. Also ich verusch mir das anschaulich vorzustellen. Denn eigentlich sollte die 2. Ableitung bei einem Extrempunkt doch entweder >0 oder <0 sein. REchnerisch kommt das halt einfach raus und dann ist da halt so. Ich versuche es mir aber zu erklären, am Graph und da komme ich immer durcheinander. Vielleicht kann es jemand anschaulich erklären? 2. Gilt das tatsächlich für alles ganzrationalen Funktionen die nur gerade Exponenten haben? Also, dass die die 2. Ableitung auch Null haben? Danke |
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| 11.02.2025, 17:30 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extrempunkte und Ableitungen
Es kann ein Sattelpunkt sein, wenn f '''(x) ungleich 0 ist. |
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| 11.02.2025, 17:39 | Dullen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extrempunkte und Ableitungen Ok, also wen f'(x)=0, f''(x)=0 und f''(X) verschieden von Null ist, kann ein Sattelpunkt vorliegen. Muss aber nicht ? Aber das erklärt mir es nicht anschaulich |
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| 11.02.2025, 17:43 | Dullenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry , es musste heißen f'''(X) verschieden von Null ist, kann ein Sattelpunkt vorliegen. Was ist eigentlich wenn dann f'''(x) auch gleich Null ist? Ist dann ein HP/TP gesichert? |
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| 11.02.2025, 17:57 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn f'''(x)=0 ist, liefert das alleine keine zusätzliche Information über die Art des Punktes x, ob es sich um einen Hochpunkt (HP) oder Tiefpunkt (TP) handelt. Es bleibt weiterhin erforderlich, die höheren Ableitungen zu untersuchen, um eine gesicherte Aussage zu treffen. |
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| 11.02.2025, 18:19 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Es ist egal, ob du eine Funktion 3ten Grades oder 300sten Grades hast. Du musst wissen, dass die erste Ableitung eine Aussage über die Steigung trifft und die zweite Ableitung eine Aussage über die Krümmung. Stell dir vor du bist ein Fahrradfahrer. Wenn du nun die Steigung 0 hast (f'(x) = 0), dann weißt du, dass du potentiell in einem Tal oder auf einer Bergspitze stehst. Das ist der Fall, wenn die Krümmung f''(x) != 0 ist. Du kannst anhand der Krümmung gar bestimmen, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Im Falle von f''(x) = 0 kann der Radfahrer erstmal keine Aussage treffen. Er ist blind und erkennt anhand der zweiten Ableitung keine Krümmung. Entweder machst du dann weitere Ableitungen und untersuchst diese, oder vermutlich üblicher, bemühst das Vorzeichenwechselkriterium (VZW). 2. Nein, nimm als Beispiel: Hier ist f''(0) = 4, wobei x = 0 eine potentieller Extremstelle ist. |
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| 11.02.2025, 19:31 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier kann man sich den Radfahrer aber von oben vorstellen, wie er Rechts- und Linkskurven fährt. Hält er den Lenker gerade, hat die Kurve keine Krümmung. Das ist z.B. hier der Fall: Hier gibt es einen kleinen Moment, in dem der Radfahrer den Lenker tatsächlich gerade hält! Die Krümmung ist hier also Null, trotzdem fährt der Radler ab dann nicht weiter nach Süden, er hat den Extrempunkt passiert. Die zweite Ableitung muss bei einem Extremum also nicht von Null verschieden sein. Viele Grüße Steffen |
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| 11.02.2025, 22:05 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f'(x)=0 ist doch auch nur ein notwendiges, kein hinreichendes Kriterium für eine (lokale) Extremalstelle. Andererseits können auch höhere Ableitungen an der Stelle Null sein, warum auch nicht, wenn die Kurve dort genügend "horizontal" verläuft. Hinreichend ist aber, wenn die ersten n-1 Ableitungen an der Stelle Null sind, aber die n. nicht, und wenn n gerade ist (dann Max/Min je nach Vorzeichen). Ist n ungerade, dann liegt dort ein Sattelpunkt vor. |
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| 11.02.2025, 23:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So weit, so klar. Aber die nächste geradzahlige Ableitung tut es, genau genommen deren Wert an der Stelle 0 (!) (positiv, >>> rel. Minimum) Prinzipiell leitet man bei solchen (speziellen) Funktionen - wenn die 2. oder 3. Ableitung Null ist - so lange ab, bis danach der Wert der Ableitung an der entsprechenden Stelle zum ersten Mal ungleich Null wird. Ist diese geradzahlig wie hier 4, weist dies auf eine Extremstelle, d.h. wegen des positiven Vorzeichens der Ableitung ein relatives Minimum hin. Eine erstmals ungeradzahlige Ableitung ungleich Null bezeichnet hingegen einen Wendepunkt. Ein Wendepunkt mit horizontaler Tangente wird als Sattelpunkt (dann und nur dann) bezeichnet. Beispiel 1: Die Polynomfunktion hat nicht 5 zu erwartende Nullstellen, sondern nur 3 und auch nicht 4 Extremstellen, sondern 2, aber 3 Wendepunkte. Die Stelle 0 ist eine dreifache Nullstelle und gleichzeitig auch ein Sattelpunkt, denn die 5. Ableitung ist 120. In dem Sattelpunkt "verbergen" sich auch die 2 fehlenden Extrema. Beispiel 2: Die Polynomfunktion besitzt nur einen Wendepunkt und 2 Nullstellen. Eine Nullstelle ist x = 0. Die 1. bis 3. Ableitungen verschwinden jeweils an der Stelle 0, währenddessen dort die 4. Ableitung (120x + 48) positiv 48 lautet. Daher befindet sich an dieser Stelle ein sehr "flaches" Minimum (eben auch ein Flachpunkt) und somit auch eine 4-fache Nullstelle. --------- Anmerkung: Die Untersuchung mittels höherer Ableitungen kann anstatt zu Extrem- oder Wendestellen auch unter Umständen zu Flachpunkten höherer Ordnung führen. Bei x = 0 liegt weder ein Wendepunkt noch ein Extremum vor. (0;0) ist ein Flachpunkt und eine 1-fache Nullstelle! Die "fehlenden" 2 Nullstellen sind komplex. zeitigt 2 reelle und 2 konjugiert komplexe Lösungen. mY+ |
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| 12.02.2025, 00:35 | Luftikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei i.a., wenn der Wendepunkt kein Sattelpunkt ist, die erste Ableitung an diesem Punkt ja keine Nullstelle hat, sondern eben ein (lokales) Extremum. |
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| 12.02.2025, 07:47 | dullai | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und kann mir jemand anschaulich erklären, warum es ein Sattelpunkt ist, wenn die dritte Ableitung verschieden von Null ist? |
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| 12.02.2025, 08:59 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die dritte Ableitung nicht Null ist, ändert sich ja die zweite Ableitung, also die Krümmung, an dieser Stelle. Das heißt, der Radler fährt vorher zum Beispiel eine Rechtskurve, danach eine Linkskurve, so wie hier: Und weil das wie ein Sattel von der Seite aussieht, von dem man auch nicht runterrutscht, weil ja die Steigung Null ist, heißt es eben Sattelpunkt. |
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| 12.02.2025, 09:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt so diverse Versuche anhand von immer höheren Ableitungen (falls die niedrigeren alle Wert Null liefern) zu klassifizieren, wann ein kritischer Punkt ein lokaler Extrempunkt ist und wann ein Sattelpunkt. Kann man machen, setzt aber auch eine solche mehrfache Differenzierbarkeit der Funktion voraus. Und ist zudem auch nicht immer erfolgreich: Nehmen wir beispielsweise Funktion , die ist tatsächlich beliebig oft differenzierbar, auch im Nullpunkt, und sämtliche Ableitungen sind dort gleich Null. Die Funktion besitzt dort ein lokales Minimum, was anhand der Ableitungen also nicht entschieden werden kann. Ähnliche Beispiele für Maximum sowie Sattelpunkt liegen auf der Hand. Statt sich in immer höheren Ableitungen zu bewegen/verirren kann man sich auch einfach mal der eigentlichen Definitionen von Lokalen Minimum/Maximum sowie Sattelpunkt bedienen, das ist bei "exotischen" Fällen oftmals der bessere Weg: Wer will schon beispielsweise bei im Punkt mehrere immer scheußlicher aussehende höhere Ableitungen berechnen, wenn doch klar ist, dass gilt und man in jeder Nullumgebung sowohl positive als auch negative Funktionswerte findet, weil offenkundig sowohl als auch für alle gilt. |
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| 10.04.2026, 00:47 | yogibär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Ich predige immer: Es gibt keine notwendigen, sondern nur hinreichende Bedingungen. Das ist das, was die Schüler immer missverstehen. Jede Nullselle von gerader Ordnung ( zweiter, vierter, sechster ... ) ist ein Extrempunkt. Hierbei entscheidet das Vorzeichen der ersten von Null verschiedenen Ableitung wie üblich, ob Max oder Min. Und jede Nullstelle von ( mehrfacher ) ungerader Ordnung ( dritter, fünfter, siebter ... ) ist ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) TP sind spezielle WENDEPUNKTE ( nicht Extrema ! ) mit horizontaler Wendetangente. Schüler übernehmen gern die Unsitte, von " Sattelpunkten " ( SP ) zu sprechen. Bei Funktionen einer Veränderlichen y = f ( x ) gibt es so etwas aber gar nicht, sondern erst ab z = f ( x , y ) einem Funktionstyp, der dann ausführlich in der Vorlesung D & I 2 gepaukt wird. ( könntest du z.B als 3 D Gebirge mit verdecktgen Kanten plotten oder im 3 D Drucker gegenständlich plotten ) Im Gegensatz zum TP , einem speziellen Wendepunkt, ist ein SP ein verallgemeinertes EXTREMUM . Denk doch an einen Sattel. Stets hast du in einer Richtung ein Max und in einer anderen ein Min . |
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